Тригонометрическая форма записи комплексного числа
Модуль и аргумент
Модулем (абсолютной величиной) комплексного числа называется длина радиус-вектора соответствующей точки комплексной плоскости (или, что то же, расстояние между точкой комплексной плоскости, соответствующей этому числу, и началом координат).
Модуль комплексного числа 
обозначается 
и определяется выражением 
. Часто обозначается буквами 
или 
. Если является вещественным числом, то совпадает с абсолютной величиной этого вещественного числа.
Для любых 
имеют место следующие свойства модуля. :
1) 
, причём 
тогда и только тогда, когда 
;;
2) 
(неравенство треугольника);
3) 
;
4) 
.
Из третьего свойства следует 
, где 
. Данное свойство модуля вместе с первыми двумя свойствами вводят на множестве комплексных чисел структуру двумерного нормированного пространства над полем 
.
5) Для пары комплексных чисел 
и 
модуль их разности 
равен расстоянию между соответствующими точками комплексной плоскости.
Угол 
(в радианах) радиус-вектора точки, соответствующей числу , называется аргументом числа и обозначается 
.
- Из этого определения следует, что
; 
; 
. - Для комплексного нуля значение аргумента не определено, для ненулевого числа аргумент определяется с точностью до
, где 
— любое целое число. - Главным значением аргумента называется такое значение , что
. Часто главное значение обозначается 
[4]. Главное значение аргумента обратного числа отличается знаком от аргумента исходного: 
.
3)
Произведением комплексных чисел 
и 
называется комплексное число
§
Так же как и в случае вещественных чисел, для знака умножения используют 
; часто его вовсе опускают: 
.
П
Пример. 
, 
, 
.
В отличие от суммы комплексных чисел, определение произведения кажется довольно искусственным. Ответ на вопрос
4)
Деление комплексных чисел, формула.
В соответсвии с определением деления действительных чисел устанавливается следующее опреденеие. Разделить комплексное число a + b·i (делимое) на комплексное число a′ + b′·i (делитель) - значит найти такое число x + y·i (частное), которое, будучи помножено на делитель, даст делимое.
Если делитель не равен нулю, то деление всегда возможно и частное единственно.
Частное комплексных чисел a + b·i, и a′ + b′·i вычисляется по формуле:
| 1. |
=
+
· i |
5)
Возведение комплексного числа в целую степень
Пусть дано комплексное число . Для возведения комплексного числа в натуральную степень нужно возвести в эту степень его модуль, а аргумент умножить на показатель степени. Это правило известно в математике как формула Муавра:
6)
Тригонометрическая форма записи комплексного числа.
Если точка z комплексной плоскости имеет декартовые координаты (х, у), т.е. 
и полярные 
, то они связаны соотношением (1):
.
По определению, 
и из (1) получаем:
. (9)
Подставляя в алгебраическую форму записи числа z получаем: 
. Или
(10)
Определение. Запись комплексного числа в виде (3) называется его тригонометрической формой.
Замечание. Поскольку одну букву писать экономнее нежели несколько, то чаще всего тригонометрическую форму комплексного числа пишут в виде:
, (11)
где 
.
Теорема. (О равенстве комплексных чисел в тригонометрической форме.)
Два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда равны их модули и аргументы.
Доказательство. Так как между всеми комплексными числами и всеми точками комплексной плоскости существует взаимно однозначное соответствие, то равные комплексные числа отождествляются на комплексной плоскости с одной и той же точкой, следовательно, имеют одни и те же полярные координаты, т.е. полярный радиус, который по определению равен модулю комплексного числа, и полярный угол, который по определению равен аргументу комплексного числа. Обратно, если комплексные числа имеют равные модули и аргументы, то они изображаются на комплексной плоскости одной точкой и, следовательно, равны.
Теорема доказана.
Используя соотношения, которые связывают полярные и декартовые координаты точки плоскости, можно найти модуль и аргумент комплексного числа зная его действительную и мнимую части.
Пусть , т.е. 
, 
. Тогда
, (12)
, если точка z лежит в первой или четвертой четверти или 
, если точка z лежит во второй или третьей четверти. Также можно пользоваться формулами (6) – (8) п.1, где .
7)
Интеграл типа Коши
Выражение
,
где 
- аналитическая функция на замкнутой области 
, ограниченной положительно ориентированным контуром 
, называется интегралом Коши.
2.1)