Линейные системы с несколькими степенями свободы

Линейные системы с одной степенью свободы без неупругих сопротивлений.

Рассмотрим одномассовую систему с одной степенью свободы.

Свободные колебания возникают при нарушении состояния равновесия и затем система представлена сама собой х = х₀, v = v₀ при t = 0 начальные условия; c·x – реакция пружины; с – жесткость пружины. Тогда по второму закону Ньютона

или

;

- круговая частота собственных колебаний системы

Решение дифференциального уравнения ищем в виде

; с₂ = х₀ – константы определяются их начальных условий

- период колебаний

- число колебаний в 1 сек.

Полученное дифференциальное уравнение описывает колебания различных механических систем с одной степенью свободы и особенности каждого случая выражаются лишь в коэффициенте жесткости с.

При угловых колебаниях твердого тела вокруг неподвижной оси

Дифференциальное уравнение вращающегося тела

М – восстанавливающий момент М = -с·φ;

- жесткость при кручении

или

- собственная частота колебаний

Влияние сил неупругого сопротивления на свободные колебания линейной системы с одной степенью свободы

Затухание колебаний вызвано влиянием сил неупругого сопротивления, на что расходуется энергия.

Вязкое сопротивление

- сила сопротивления пропорциональна скорости (например, гидравлический амортизатор)

- кулоново трение

Вследствие неупругих сопротивлений при циклическом нагружении механических систем кривая сила – перемещение приобретает вид петли гистерезиса

Площадь петли определяет рассеянную энергию за один цикл нагружения – разгружения

При вязком сопротивлении дифференциальное уравнение движения груза примет вид

; тогда

и решение при примет вид

а и α определяются из начальных условий

= частота колебаний

Для последовательных амплитуд, чередующихся с периодом , выполняется отношение

- декремент колебаний

- логарифмический декремент колебаний

При сухом кулоновом трении

обозначим α = ; тогда

, при t = 0, x = a₀, = 0

Движение продолжается при ;

где a_i = a_i-1 - 4·α;

Внутреннее трение

Из равенства энергии внутреннего трения и площади петли гистерезиса получим дифференциальное уравнение для верхней огибающей кривой затухающих колебаний.

Решениями будут выражения

при n = 0

при n = 1

при n = 2

Линейные системы с несколькими степенями свободы

Составим уравнение движения для простейшей системы с двумя грузами.

В процессе колебания в пружинах развиваются усилия N₁ = c₁;

N₂ = c₂·(x₂ – x₁)

потенциальная энергия системы

кинетическая энергия

подставляя в уравнение Лагранжа

(I = 1, 2)

окончательно получим систему 2-х уравнений

уравнение движения системы

Решениями этот системы будут

a_ij – амплитуды;

i – номер координаты;

j – номер частоты

Для нашего случая подставляя в основную систему получим

тогда

р₁, р₂, F₂₁, F₂₂ – зависят от параметров колебательной системы.

а₁₁, а₁₂, α₁, α₂ определяются из четырех начальных условий смещений и скорости обеих масс при t = 0

например х₁(0) = 0; х₂(0) = 0

;

α₁ = α₂ = 0;

Подбором начальных условий можно добиться одночастотных колебаний (собственные формы).

а) в одном направлении б) в разных направлениях

Изгибные колебания балок

Рассмотрим свободные колебания упругой балки, несущей конечное число точечных масс.

Расчет проводится введением сил инерции, приложенных к безмассовому скелету системы. Перемещение в i-той точке при приложенной единичной силы в к-ой точке

При приложении одновременно сил Р₁, Р₂…Р_n полное перемещение в точке i равно

При свободных колебаниях балки с массами m₁, m₂…m_n на балку действуют силы инерции , тогда или в развернутом виде

Частное решение системы ищем в виде

подставляя в систему получим

Нетривиальное решение этой систем однородных уравнений т.е. а_i 0 одновременно, будет если определитель этой системы равен нулю.

Из этого условия получим частотное уравнение n-й степени для квадрата частоты р²

Число корней этого уравнения равно n, они вещественны и положительны. Сами частоты находятся по формуле

…,

Общее решение системы исходных уравнений запишется в виде суммы частных решений

I = 1, 2,…,n