Вынужденные колебания системы с несколькими степенями свободы.

Система уравнений движения при наличии возмущающих воздействий имеет вид , (12)

где вектор-столбец обобщенных сил.

1.Разложение по формам свободных колебаний (метод главных координат)

Если обобщенные силы являются произвольными функциями времени, то аналитическое решение системы (12) весьма затруднительно. В этом случае можно применить метод разложения по формам свободных колебаний. Ищем решение в виде суммы , (13)

где собственные формы, удовлетворяющие системе .

Подставим (13) в систему (12):

.

Умножая последовательно эту систему слева на с учетом ортогональности

получим уравнений ,

или, разделив на

,

Решения этих неоднородных уравнений, как известно, складываются из решения однородного уравнения и решения неоднородного, которое можно получить с помощью интеграла Дюамеля

.

Случай гармонических обобщенных сил. Пример: динамический гаситель

Если вектор - столбец обобщенных сил имеет вид , то частное решение системы (12) можем найти в виде :

, откуда получаем систему линейных уравнений относительно амплитудного вектора :

Решение этой системы можем получить, например, с помощью формулы Крамера , где определитель системы, а определитель, в котором «K – й» столбец заменен столбцом .

K

C

Пример. Динамический гаситель колебаний. Антирезонанс.

Движение тела массы , закрепленного на упругой опоре жесткости , под действием силы , описывается уравнением ,

частное решение которого (чисто вынужденные колебания) имеет вид

квадрат собственной частоты.

p

Сила моделирует, например, причину колебаний корпуса двигателя ввиду неуравновешенности его движущихся частей.

Зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы (амплитудно-частотная характеристика) имеет вид:

Прикрепим к телу груз на пружине жесткостью . Подставляя кинетическую и потенциальную энергии системы

,

в уравнения Лагранжа получим .

Отыскивая частное решение этой системы в виде , получим систему ,

откуда , где определитель системы

.

Из выражения для видно, что, если массу и жесткость пружины «дополнительного» тела, называемого динамическим гасителем, подобрать так, чтобы , то амплитуда колебаний« основного» тела, на которое действует сила, будет равна нулю: ; это невозможное для статических задач свойство динамических задач называется антирезонансом.

Замечание. Динамический гаситель колебаний, позволяющий уменьшить вибрацию вблизи номинальной рабочей частоты , превращает защищаемый механизм в систему с двумя степенями свободы и, соответственно, с двумя резонансными частотами и ,которые являются собственными частотами и определяются из уравнения

,

где (гаситель настроен на частоту ).

Это уравнение можно переписать в виде

,

где обозначено . Корни этого уравнения лежат по разные стороны от рабочей частоты и собственной резонансной частоты (см. рисунок), поэтому при выводе механизма на рабочую частоту возникает проблема перехода через резонансную частоту .