Производная по направлению. Градиент

Скалярным полем называется часть пространства (или все пространство), каждой точке которой соответствует численное значение некоторой скалярной величины.

Примеры

Тело, имеющее в каждой точке определенное значение температуры – скалярное поле.

Неоднородное тело, каждой точке которой соответствует определенная плотность – скалярное поле плотности.

Во всех этих случаях скалярная величина U не зависит от времени, а зависит от положения (координат) точки М в пространстве, то есть Производная по направлению. Градиент - student2.ru -- это функция трех переменных, она называется функцией поля. И обратно, всякая функция трех переменных u=f(x, y, z) задает некоторое скалярное поле.

Функция плоского скалярного поля зависит от двух переменных z=f(x, y).

Рассмотрим скалярное поле u=f(x, y, z).

Вектор, координатами которого являются частные производные функции, вычисленные в заданной точке, называется градиентом функции в этой точке.

Производная по направлению. Градиент - student2.ru

или

Производная по направлению. Градиент - student2.ru

Рассмотрим некоторый вектор Производная по направлению. Градиент - student2.ru и на нем две точки M0(x0, y0, z0) и Производная по направлению. Градиент - student2.ru . Найдем приращение функции в направлении Производная по направлению. Градиент - student2.ru :

Производная по направлению. Градиент - student2.ru .

Производной по направлению называется следующий предел, если он существует:

Производная по направлению. Градиент - student2.ru .

Производная по направлению. Градиент - student2.ru

где Производная по направлению. Градиент - student2.ru -- направляющие косинусы вектора Производная по направлению. Градиент - student2.ru ; α, β, γ -- углы, которые образует вектор с осями координат.

Для функции двух переменных эти формулы принимают вид:

Производная по направлению. Градиент - student2.ru или Производная по направлению. Градиент - student2.ru ,

так как Производная по направлению. Градиент - student2.ru .

Между градиентом и производной по направлению в одной и той же точке существует связь.

Теорема. Скалярное произведение градиента функции на вектор некоторого направления равно производной данной функции в направлении этого вектора:

Производная по направлению. Градиент - student2.ru .

Следствие.Производная по направлению имеет наибольшее значение, если это направление совпадает с направлением градиента (обосновать самостоятельно, используя определение скалярного произведения и считая, что Производная по направлению. Градиент - student2.ru ).

Выводы:

1. Градиент – это вектор, показывающий направление наибольшего возрастания функции в данной точке и имеющий модуль, численно равный скорости этого возрастания:

Производная по направлению. Градиент - student2.ru .

2. Производная по направлению – это скорость изменения функции в направлении Производная по направлению. Градиент - student2.ru : если Производная по направлению. Градиент - student2.ru , то функция в этом направлении возрастает,

если Производная по направлению. Градиент - student2.ru , то функция убывает.

3. Если вектор Производная по направлению. Градиент - student2.ru совпадает с одним из векторов Производная по направлению. Градиент - student2.ru , то производная по направлению этого вектора совпадает с соответствующей частной производной.

Например, если Производная по направлению. Градиент - student2.ru , тогда Производная по направлению. Градиент - student2.ru .

Пример (см. задание VII)

Даны функция Производная по направлению. Градиент - student2.ru , точка А(1, 2) и вектор Производная по направлению. Градиент - student2.ru .

Найти: 1) Производная по направлению. Градиент - student2.ru ;

2) Производная по направлению. Градиент - student2.ru .

Решение.

1) найдем частные производные функции и вычислим их в точке А.

Производная по направлению. Градиент - student2.ru , Производная по направлению. Градиент - student2.ru .

Тогда Производная по направлению. Градиент - student2.ru .

2) Найдем направляющие косинусы вектора Производная по направлению. Градиент - student2.ru :

Производная по направлению. Градиент - student2.ru .

Тогда Производная по направлению. Градиент - student2.ru .

Ответ: Производная по направлению. Градиент - student2.ru ;

Производная по направлению. Градиент - student2.ru .

Ниже приведены задания для контрольной работы.

Номер варианта соответствует последней цифре Вашего шифра зачетной книжки. Из каждого задания необходимо выполнить пример, номер которого совпадает с номером Вашего варианта.

Каждую контрольную работу следует выполнять в отдельной тетради. Следует указать свой шифр и номер варианта. Условие задачи должно быть полностью переписано перед ее решением.

Отмеченные рецензентом ошибки необходимо исправить в конце работы, сделав работу над ошибками.

Зачтенные контрольные работы предъявляются студентом при сдаче зачета или экзамена.

ЗАДАНИЕ ДЛЯ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

IПо координатам вершины пирамиды А1А2А3А4 найти:

1) длину ребра А1А2;

2) угол между ребрами А1А2 и А1А4;

3) угол между ребром А1А4 и гранью А1А2А3;

4) площадь грани А1А2А3;

5) объем пирамиды;

6) уравнение прямой А1А2;

7) уравнение плоскости А1А2А3;

8) уравнение высоты, опущенной из вершины А4 на грань А1А2А3.

1. А1(4, 2, 5), А2(0, 7, 2), А3(0, 2, 7), А4(1, 5, 0)

2. А1(4, 4, 10), А2(4,10, 2), А3(2, 8, 4), А4(9, 6, 4)

3. А1(4, 6, 5), А2(9, 6, 4), А3(2,10,10), А4(7, 5, 9)

4. А1(3, 5, 4), А2(8, 7, 4), А3(5,10, 4), А4(4, 7, 8)

5. А1(10, 6, 6), А2(-2, 8, 2), А3(6, 8, 9), А4(7,10, 3)

6. А1(1, 8, 2), А2(5, 2, 6), А3(5, 7, 4), А4(4,10, 9)

7. А16, 6, 5), А2(4, 9, 5), А3(4, 6,11), А4(6, 9, 3)

8. А1(7, 2, 2), А2(5, 7, 7), А3(5, 3, 1), А4(2, 3, 7)

9. А1(8, 6, 4), А2(10, 5, 5), А3(5, 6, 8), А4(8,10, 7)

10. А1(7, 7, 3), А2(6, 5, 8), А3(3, 5, 8), А4(8, 4, 1)

II1. Даны вершины треугольника АВС: А(-3, 1), В(0, 4), С(2, 5). Написать уравнение высоты, проведенной из вершины С к стороне АВ.

2. Стороны треугольника АВС заданы уравнениями:

x+y=2 (AB), 2x-y=-2 (AC), x-2y=2 (BC).

Написать уравнение высоты, проведенной из вершины А к стороне ВС.

3. Даны вершины треугольника АВС: А(4, -2), В(3, -1), С(2, 6). Написать уравнение средней линии ΔАВС, параллельной стороне АС.

4. Стороны треугольника АВС заданы уравнениями:

x+y-3=0 (AB), y-2x=0 (AC), x-y-1=0 (BC).

Написать уравнение прямой, проходящей через вершину А параллельно стороне ВС.

5. Даны вершины четырехугольника A(0, 6), B(7,12), C(6, 2), D(2, 2). Найти точку пересечения его диагоналей.

6. Даны вершины треугольника АВС: А(0, 4), В(-3, 2), С(2, 6). Написать уравнение медианы, проведенной из точки В.

7. Даны вершины треугольника АВС: А(2, 4), В(-2, 5), С(-1, 2). Написать уравнение высоты, проведенной из вершины А к стороне ВС.

8. Даны вершины трапеции A(-2,-3), B(-3, 1), C(7, 7), D(3, 0). Написать уравнение средней линии трапеции.

9. В треугольнике MNP написать уравнение медианы, проведенной из вершины М, если известно, что М(4, -1), N(2, 3), P(-4, -2).

10. Стороны треугольника лежат на прямых:

x-y=-2 (AB), x+y=1 (BC), x-2y=1 (AC). Написать уравнение высоты, опущенной из вершины В на сторону АС.

IIIРешить систему линейных уравнений, используя формулы Крамера.

1. Производная по направлению. Градиент - student2.ru 2. Производная по направлению. Градиент - student2.ru
3. Производная по направлению. Градиент - student2.ru 4. Производная по направлению. Градиент - student2.ru
5. Производная по направлению. Градиент - student2.ru 6. Производная по направлению. Градиент - student2.ru
7. Производная по направлению. Градиент - student2.ru 8. Производная по направлению. Градиент - student2.ru
9. Производная по направлению. Градиент - student2.ru 10. Производная по направлению. Градиент - student2.ru

IV Вычислить пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя.

1. a) Производная по направлению. Градиент - student2.ru b) Производная по направлению. Градиент - student2.ru c) Производная по направлению. Градиент - student2.ru
2. a) Производная по направлению. Градиент - student2.ru b) Производная по направлению. Градиент - student2.ru c) Производная по направлению. Градиент - student2.ru
3. a) Производная по направлению. Градиент - student2.ru b) Производная по направлению. Градиент - student2.ru c) Производная по направлению. Градиент - student2.ru
4. a) Производная по направлению. Градиент - student2.ru b) Производная по направлению. Градиент - student2.ru c) Производная по направлению. Градиент - student2.ru
5. a) Производная по направлению. Градиент - student2.ru b) Производная по направлению. Градиент - student2.ru c) Производная по направлению. Градиент - student2.ru
6. a) Производная по направлению. Градиент - student2.ru b) Производная по направлению. Градиент - student2.ru c) Производная по направлению. Градиент - student2.ru
7. a) Производная по направлению. Градиент - student2.ru b) Производная по направлению. Градиент - student2.ru c) Производная по направлению. Градиент - student2.ru
8. a) Производная по направлению. Градиент - student2.ru b) Производная по направлению. Градиент - student2.ru c) Производная по направлению. Градиент - student2.ru
9. a) Производная по направлению. Градиент - student2.ru b) Производная по направлению. Градиент - student2.ru c) Производная по направлению. Градиент - student2.ru
10. a) Производная по направлению. Градиент - student2.ru b) Производная по направлению. Градиент - student2.ru c) Производная по направлению. Градиент - student2.ru

V Найти производные первого порядка, используя правила вычисления производных.

1. a) Производная по направлению. Градиент - student2.ru b) Производная по направлению. Градиент - student2.ru c) Производная по направлению. Градиент - student2.ru
2. a) Производная по направлению. Градиент - student2.ru b) Производная по направлению. Градиент - student2.ru c) Производная по направлению. Градиент - student2.ru
3. a) Производная по направлению. Градиент - student2.ru b) Производная по направлению. Градиент - student2.ru c) Производная по направлению. Градиент - student2.ru
4. a) Производная по направлению. Градиент - student2.ru b) Производная по направлению. Градиент - student2.ru c) Производная по направлению. Градиент - student2.ru
5. a) Производная по направлению. Градиент - student2.ru b) Производная по направлению. Градиент - student2.ru c) Производная по направлению. Градиент - student2.ru
6. a) Производная по направлению. Градиент - student2.ru b) Производная по направлению. Градиент - student2.ru c) Производная по направлению. Градиент - student2.ru
7. a) Производная по направлению. Градиент - student2.ru b) Производная по направлению. Градиент - student2.ru c) Производная по направлению. Градиент - student2.ru
8. a) Производная по направлению. Градиент - student2.ru b) Производная по направлению. Градиент - student2.ru c) Производная по направлению. Градиент - student2.ru
9. a) Производная по направлению. Градиент - student2.ru b) Производная по направлению. Градиент - student2.ru c) Производная по направлению. Градиент - student2.ru
10. a) Производная по направлению. Градиент - student2.ru b) Производная по направлению. Градиент - student2.ru c) Производная по направлению. Градиент - student2.ru

VIИсследовать методами дифференциального исчисления функцию и, используя результаты исследования, построить график.

1. Производная по направлению. Градиент - student2.ru 2. Производная по направлению. Градиент - student2.ru
3. Производная по направлению. Градиент - student2.ru 4. Производная по направлению. Градиент - student2.ru
5. Производная по направлению. Градиент - student2.ru 6. Производная по направлению. Градиент - student2.ru
7. Производная по направлению. Градиент - student2.ru 8. Производная по направлению. Градиент - student2.ru
9. Производная по направлению. Градиент - student2.ru 10. Производная по направлению. Градиент - student2.ru

VIIДана функция Производная по направлению. Градиент - student2.ru , точка Производная по направлению. Градиент - student2.ru и вектор Производная по направлению. Градиент - student2.ru . Найти:

1) grad z в точке А;

2) производную в точке А по направлению вектора Производная по направлению. Градиент - student2.ru .

1. Z=x2+xy+y2 Производная по направлению. Градиент - student2.ru
2. Z=2x2+3xy+y2 Производная по направлению. Градиент - student2.ru
3. Z=ln(5x2+3y2) Производная по направлению. Градиент - student2.ru
4. Z=ln(5x2+4y) Производная по направлению. Градиент - student2.ru
5. Z=5x2+6xy Производная по направлению. Градиент - student2.ru
6. Z=arctg(xy2) Производная по направлению. Градиент - student2.ru
7. Z=arcsin(x2/y) Производная по направлению. Градиент - student2.ru
8. Z=ln(3x2+4y2) Производная по направлению. Градиент - student2.ru
9. Z=3x4+2x2y3 Производная по направлению. Градиент - student2.ru
10. Z=3x2y3+5xy2 Производная по направлению. Градиент - student2.ru

МАТЕМАТИКА

I ЧАСТЬ

Составители: Арутюнян Ашот Страевич

Горшкова Светлана Николаевна

Данович Лариса Михайловна

Наумова Наталья Александровна

Петрушина Ирина Игоревна

Редактор Л.В. Троицкая

Компьютерная верстка Н.А.Наумовой

  Подписано в печать Формат
Бумага оберточная Офсетная печать
Печ.л. 2,25 Изд.№ 136
Усл.печ.л. 2,0 Тираж
Уч.-изд.л. 1,5 Заказ №
 

Наши рекомендации