Производная по направлению. Градиент

● Полем называется часть пространства, каждой точке которого поставлено в соответствие определенное значение некоторой физической величины. Если физическая величина скалярная, то поле называется скалярным, а если векторная, то – векторным.

Скалярное поле считается заданным, если в каждой его точке Р определена скалярная функция , называемая функцией поля. Примерами скалярных полей могут служить поле распространения температуры, поле потенциала в электрическом поле и т. д. Поле называется стационарным, если величина не зависит от времени.

● Поверхностью уровня скалярного поля называется геометрическое множество точек, в которых функция принимает постоянное значение, т. е. .

В частности, если скалярное поле плоское, то функция поля U зависит от двух переменных х и у. В этом случае рассматривают линию уровня. Линией уровня функции называется такая линия на плоскости , в точках которой функция сохраняет постоянное значение, т. е. уравнение определяет линии уровня.

● Пусть задана функция поля . Рассмотрим какой-нибудь луч l, выходящий из произвольной точки . Направление этого
луча зададим углами α, β, γ, которые он образует с положительными направлениями осей координат. Если l⁰ – единичный вектор, направлен-
ный по лучу l, то его проекциями будут направляющие косинусы: . Пусть точка лежит на луче l. Расстояние обозначим через ρ. Тогда предел отношения изменения функции к изменению величины ρ, при условии называется производной от функции по направлению l в точке Р и обозначается .

Теорема. Для всякой дифференцируемой функции существует производная по любому направлению , такая что

где cosα, cosβ, cosγ – направляющие косинусы направления l.

Абсолютная величина производной определяет величину скорости, а знак производной – характер изменения функции U (возрастание или убывание) в точке Р по направлению луча l. Среди всех направлений можно выделить такое, по которому скорость изменения функции будет наибольшей. Это направление задается вектором, который называют градиентом функции U в точке Р и обозначается или .

Итак, . Модуль градиента в точке Р равен наибольшей скорости изменения скалярного поля:

Таким образом, каждой точке скалярного поля соответствует определенный вектор – градиент функции , характеризующий наибольшую скорость изменения этой функции.

Можно показать, что в каждой точке совпадает с нормалью к поверхности уровня скалярного поля, проходящей через эту точку. Таким образом, градиент в каждой точке перпендикулярен касательной плоскости к поверхности уровня, проходящей через данную точку, значит, его проекция на эту плоскость равна нулю. Следовательно, производная по направлению, касательному к поверхности уровня, проходящей через данную точку, равна нулю.

Векторное поле

● Векторным полем называется часть пространства, в каждой точке которого задана векторная величина (силовое поле, поле скоростей текущей жидкости и др.).

Пусть векторное поле образовано вектором

● Потоком вектора ачерез поверхность σ называется поверхно-стный интеграл вида
В случае, когда векторное поле представляет поле скоростей текущей жидкости, то величина потока K определяет количество жидкости, протекающее через поверхность σ.

● Дивергенция или расходимость векторного поля а в любой его точке М выражается формулой:

где значения частных производных берутся в точке М.

● Теорема Остроградского–Гаусса

Поток вектора а изнутри замкнутой поверхности σ равен тройному интегралу по объему V, ограниченному этой поверхностью, от дивергенции векторного поля:

● Работа в силовом поле вдоль кривой находится с помощью криволинейного интеграла по формуле

Если l замкнутый контур, то криволинейный интеграл называется циркуляцией.

● Ротором (вихревым вектором) векторного поля называется вектор

.

Замечание. Удобно координаты вектора находить с помощью специального определителя:

● Теорема Стокса

Поток ротора поля через поверхность σ равен циркуляции вектора по границе l этой поверхности.

.

Замечание. Направление интегрирования по контуру l и направление нормали n к поверхности σ согласованы так, что с конца нормали n обход вдоль контура l виден против хода часовой стрелки.