Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Определение 8. Дифференциальное уравнение вида:
Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru , Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru . (4)

называется линейным уравнением.

Решение линейного уравнения можно искать в виде: Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru , Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru . Значения для Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru и Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru подставим в данное уравнение. В результате получим тождество: Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru (5)

Так так неизвестных функций две, а условие, которому они удовлетворяют одно, то для нахождения Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru и Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru надо иметь еще одно условие, которое мы наложим по своему усмотрению. В левой части равенства (5) сумму первого и третьего слагаемых приравняем к 0, т.е. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru . Функция Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru , т.к. в этом случае Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru , а тождественный ноль не является решением уравнения (4) следовательно, Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru . Последнее уравнение является дифуравнением с разделяющимися переменными, решая это уравнение, найдем функцию Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru : Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru ; Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru ; Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru ; Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru . При нахождении функции Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru произвольную постоянную С можно не добавлять, т.к. нам достаточно найти какую-либо функцию Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru , а произвольную постоянную запишем при нахождении Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru . Найденную функцию Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru подставим в равенство (5), в результате получим еще одно дифуравнение с разделяющими переменными: Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru ;

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru ; Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru Таким образом, решение линейного дифуравнения первого порядка заменой Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru сводится к решению двух дифуравнений с разделяющимися переменными.

Пример 7. Проинтегрировать уравнение Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru , найти интегральную кривую этого уравнения, проходящую через точку Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru .

Решение. Обе части уравнения поделим на x, в результате получим линейное уравнение первого порядка Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru . Решение этого уравнения будем искать в виде Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru , Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru . Выражение для Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru и Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru подставим в данное уравнение: Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru (6)

Далее сумму первого и третьего слагаемых приравняем к 0. Т.к. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru , то Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru . Последнее уравнение является дифуравнением с разделяющимися переменными:

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru .

Найденное значение Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru подставим в равенство (6), в результате получим: Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru Следовательно, общее решение данного уравнения запишется в виде: Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru . Теперь из общего решения выделим интегральную кривую, которая проходит через точку Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru . Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru . с=1; Полученное значение с=1 подставим в общее решение и получим искомую интегральную кривую Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru .

Уравнения Бернулли

Определение 9. Уравнение вида

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru (7)

называется уравнением Бернулли. Если Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru , то уравнение (7) является линейным. Если Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru , то уравнение (7) является уравнением с разделяющимися переменными.

Если Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru и Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru , то мы получаем новый тип уравнения, который ранее не рассматривали.

Решение уравнения Бернулли можно искать в виде Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru и решать это уравнение аналогично решению линейного уравнения.

Пример 8. Проинтегрировать уравнение Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru и выделить интегральную кривую, проходящую через точку Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru , т.е. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru .

Решение. Данное уравнение запишем в виде: Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru . Это уравнение является уравнением Бернулли, Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru .

Общее решение уравнения будем искать в виде Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru , Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru . Подставляя выражение для Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru и Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru в уравнение, мы должны получить тождество

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru (8)

Функцию Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru найдем из равенства Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru . Так как Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru , то Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru . Следовательно, Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru , Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru , Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru , Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru .

Найденное значение Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru подставим в (8), в результате получим Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru уравнение с разделяющимися переменными. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru ; Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru Получили общее решение данного уравнения, из которого с помощью начального условия Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru выделим требуемую интегральную кривую. В общее решение подставим Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru и Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru .

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru , отсюда Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru .

Подставляя в общее решение найденное Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru получим искомую интегральную кривую Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru .

Наши рекомендации