Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Определение: Уравнение вида Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка.

Уравнения такого вида сводятся к двум уравнениям с разделяющимися переменными с помощью подстановки Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru , где Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru , Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru - некоторые функции, зависящие от x.

Алгоритм решения:

1) Вводится подстановка Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru , тогда Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru .

2) Исходное уравнение принимает вид:

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru .

3) Группируются слагаемые при u.

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru .

4) Выражение в скобках приравнивается к нулю:

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru .

Это уравнение с разделяющимися переменными, решая его, находим Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru .

5) Полученное значение v подставляется в выражение:

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru .

Решив уравнение с разделяющимися переменными, получим функцию Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru .

6) Общее решение уравнения запишется в виде:

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru .

Пример 1 Найти общее решение уравнения

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru .

Решение: Обозначим Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru , тогда Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru .

Уравнение примет вид Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru .

Вынесем во втором и третьем слагаемом общий множитель за скобки, получим Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru .

Выражение в скобках приравняем к нулю v′ - vtgx = 0

Перепишем в виде Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru

Умножая обе части уравнения на Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru , получим Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru ,

интегрируем Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru

находим Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru , применим замену Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru

получим Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru ,

откуда Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru или Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru , Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru .

Пропотенцируем обе части равенства v = Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru .

Найденную функцию Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru подставим в выражение Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru и решим полученное уравнение Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru

du = sinx∙cos∙xdx или Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru

Интегрируем Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru ,

Получим Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru .

Зная функции u и v , можно записать ответ.

Ответ: Общее решение уравнения у = Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru .

Пример 2 Найти частное решение дифференциального уравнения Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru , если Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru при Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru .

Решение: Пусть Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru , тогда Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru .

Отсюда, Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru .

Вынесем u за скобки: Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru .

Приравняв скобку к 0 , получим: Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru .

Отсюда, Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru , Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru .

Интегрируем Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru ,

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru , Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru , Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru .

Подставив Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru в выражение Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru , получим уравнение относительно функции u и решим его.

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru , Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru , Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru , .

Проинтегрируем Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru . Функция Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru .

Запишем общее решение уравнения: Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru .

Частное решение найдем из условия Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru при Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru .

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru , Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru , Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru .

Частное решение заданного уравнения имеет вид: Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru .

Ответ: Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru - частное решение уравнения.

Уравнение Бернулли.

Определение.

Дифференциальное уравнение вида Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru , где Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru , называется уравнением Бернулли.

Предполагая, что Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru , разделим обе части уравнения Бернулли на Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru .

В результате получим: Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru (1)

Введем новую функцию Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru . Тогда Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru . Домножим уравнение (1) на Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru и перейдем в нем к функции z(x): Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru , т.е. для функции z(x) получили линейное неоднородное уравнение 1-го порядка. Подставим в его общее решение вместо z(x) выражение Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru , получим общий интеграл уравнения Бернулли, который легко разрешается относительно y. При Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru добавляется решение y(x)=0. Уравнение Бернулли можно также решать, не делая перехода к линейному уравнению путем подстановки Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru , а применяя метод Бернулли.

Рассмотрим применение этого способа для решения уравнения Бернулли на конкретном примере.

Пример. Найти общее решение уравнения: Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru (2)

Решение.

Уравнение (2) является уравнением Бернулли, причем Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru .

Будем искать решение уравнения в виде Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru .

Тогда Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru .

В левой части последнего уравнения сгруппируем второе и третье слагаемые, которые содержат функцию u(x), и потребуем, чтобы Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru . Откуда Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru . Тогда для функции u(x) будем иметь следующее уравнение:

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru или Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru ,

которое является уравнением с разделяющимися переменными для функции u(x). Решим его Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru ,

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru , Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru

Следовательно, общее решение данного уравнения имеет вид: Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru , y(x)=0.

ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ

Задание № 7. Найти указанные пределы .

1. а) Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru ; б) Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru ;

в) Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru ; г) Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru

2. a) Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru ; б) Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru ;

в) Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru ; г) Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru ;

3. a) Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru ; б) Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru ;

в) Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru ; г) Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru ;

4. a) Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru ; б) Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru ;

в) Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru ; г) Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru ;

5. a) Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru ; б) Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru ;

в) Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru ; г) Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru ;

6. a) Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru ; б) Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru ;

в) Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru ; г) Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru .

7. a) Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru ; б) Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru ;

в) Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru ; г) Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru ;

8. a) Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru ; б) Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru ;

в) Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru ; г) Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru .

9. a) Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru ; б) Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru ;

в) Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru ; г) Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru ;

10. a) Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru ; б) Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru ;

в) Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru ; г) Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru .

11. a) Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru ; б) Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru ;

в) Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru ; г) Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru .

12. a) Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru ; б) Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru ;

в) Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru ; г) Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru .

13. a) Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru ; б) Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru ;

в) Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru ; г) Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru .

14. a) Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru ; б) Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru ;

в) Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru ; г) Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru .

15. a) Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru ; б) Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru ;

в) Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru ; г) Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru .

16. a) Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru ; б) Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru ;

в) Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru ; г) Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru .

17. a) Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru ; б) Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru ;

в) Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru ; г) Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru .

18. a) Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru ; б) Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru ;

в) Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru ; г) Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru .

19. a) Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru ; б) Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru ;

в) Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru ; г) Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru .

20. a) Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru ; б) Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru ;

в) Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru ; г) Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru .

Задание № 8. Найти производные функций:

1. а) Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru ; б) Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru ;

в) Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru .

2. a) Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru ; б) Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru ;

в) Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru .

3. a) Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru ; б) Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru ;

в) Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru .

4. a) Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru ; б) Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru ;

в) Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru .

5. a) Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru ; б) Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru ;

в) Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru .

6. a) Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru ; б) Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru ;

в) Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru .

7. a) Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru ; б) Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru ;

в) Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru .

8. a) Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru ; б) Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru ;

в) Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru .

9. a) Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru ; б) Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru ;

в) Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru .

10. a) Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru ; б) Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru ;

в) Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru .

11. a) Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru ; б) Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru ;

в) Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru .

12. a) Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru ; б) Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru ;

в) Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru .

13. a) Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru ; б) Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru ;

в) Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru .

14. a) Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru ; б) Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru

в) Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru .

15. a) Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru ; б) Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru ;

в) Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru .

16. a) Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru ; б) Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru ;

в) Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru .

17. a) Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru ; б) Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru ;

в) Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru .

18. a) Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru ; б) Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru ;

в) Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru .

19. a) Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru ; б) Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru ;

в) Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru .

20. a) Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru ; б) Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru ;

в) Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru .

Задание № 9.Исследовать данные функции методами дифференциального исчисления и построить их графики.

1. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru . 2. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru . 3. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru .

4. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru . 5. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru . 6. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru .

7. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru . 8. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru . 9. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru .

10. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru . 11. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru . 12. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru .

13. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru . 14. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru . 15. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru .

16. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru . 17. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru . 18. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru .

19. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru . 20. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru .

Задание № 10. Найти указанные неопределенные интегралы и результаты интегрирования проверить дифференцированием.

1. a) Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru ; б) Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru ;

в) Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru .

2. a) Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru ; б) Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru ;

в) Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru .

3. a) Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru ; б) Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru ;

в) Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru .

4. a) Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru ; б) Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru ;

в) Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru .

5. a) Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru ; б) Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru ;

в) Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru .

6. a) Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru ; б) Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru ;

в) Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru .

7. a) Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru ; б) Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru ;

в) Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru .

8. a) Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru ; б) Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru ;

в) Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru .

9. a) Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru ; б) Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru ;

в) Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru .

10. a) Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru ; б) Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru ;

в) Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru .

11. a) Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru ; б) Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru ;

в) Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru .

12. a) Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru ; б) Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru ;

в) Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru .

13. a) Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru ; б) Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru ;

в) Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru .

14. a) Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru ; б) Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru ;

в) Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru .

15. a) Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru ; б) Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru ;

в) Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru .

16 a) Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru ; б) Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru ;

в) Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru .

17. a) Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru ; б) Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru ;

в) Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru .

18. a) Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru ; б) Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru ;

в) Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru .

19. a) Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru ; б) Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru ;

в) Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru .

10. a) Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru ; б) Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru ;

в) Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru .

Задание № 11.Найти общее решение дифференциальных уравнений первого порядка.

1. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru . 2. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru .

3. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru . 4. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru .

5. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru . 6. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru .

7. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru . 8. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru .

9. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru . 10 Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru .

11. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru . 12. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru .

13. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru . 14. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru .

15. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru . 16. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru .

17. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru . 18. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru .

19. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru . 20. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка - student2.ru .

Литература

1. Богомолов Н.В. Математика: учебник для ссузов / Н.В. Богомолов, П.И. Самойленко. – 7-е изд., стереотип. – М.: Дрофа, 2010г.

2. Бугров Я. С., Никольский С. М. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. – М.: Наука, 1988.

3. Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах : учеб. пособие для вузов: в 2 ч. / П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова. — М. : Изд. дом «ОНИКС 21 век» : Мир и Образование, 2003.

4. Ефимов Н. В. Краткий курс аналитической геометрии. – М.: Наука, 1965.

5. Кадомцев С.Б. Аналитическая геометрия и линейная алгебра. — М. : физ.-мат. лит., 2001.

6. Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики. - М.: Наука, 1989.

7. Лисичкин В.Т, Соловейчик И. Л. Математика: Учеб. Пособие для техникумов. -М.: Высш.шк; 1991г.

8. Лунгу К.Н., Письменный Д.Т., Федин С.Н., Шевченко Ю.А. Сборник задач по высшей математике. 1 курс. – 2-е изд. – М.: Айрис-пресс, 2003.

9. Мальцев А. И. Основы линейной алгебры. – М.: Наука, 1975.

10. Минорский В. П. Сборник задач по высшей математике. – М.: Наука, 1971.

11. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. В 2 т. - М.: Наука, 1970 [и последующие издания].

12. В.А. Подольский, А.М. Суходский, Е.М. Мироненко. Сборник задач по математике.- М. 1999.

13. Проскуряков И. В. Сборник задач по линейной алгебре. – М.: Юнимедиастайл, 2002.

14. В.И. Смирнов. Курс высшей математики. 1,2 том. М. 1996.

15. Фаддеев Д. К., Соминский И. С. Задачи по высшей алгебре. – С.-П.: изд-во «Лань», 1999.

16. Г.М. Фихтенгольц. Курс дифференциального и интегрального исчисления. М. 1977.

17. Шипачев В.С. Высшая математика. М.: Высш. шк., 2005.

Наши рекомендации