Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
Определение: Уравнение вида называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка.
Уравнения такого вида сводятся к двум уравнениям с разделяющимися переменными с помощью подстановки , где , - некоторые функции, зависящие от x.
Алгоритм решения:
1) Вводится подстановка , тогда .
2) Исходное уравнение принимает вид:
.
3) Группируются слагаемые при u.
.
4) Выражение в скобках приравнивается к нулю:
.
Это уравнение с разделяющимися переменными, решая его, находим .
5) Полученное значение v подставляется в выражение:
.
Решив уравнение с разделяющимися переменными, получим функцию .
6) Общее решение уравнения запишется в виде:
.
Пример 1 Найти общее решение уравнения
.
Решение: Обозначим , тогда .
Уравнение примет вид .
Вынесем во втором и третьем слагаемом общий множитель за скобки, получим .
Выражение в скобках приравняем к нулю v′ - vtgx = 0
Перепишем в виде
Умножая обе части уравнения на , получим ,
интегрируем
находим , применим замену
получим ,
откуда или , .
Пропотенцируем обе части равенства v = .
Найденную функцию подставим в выражение и решим полученное уравнение
du = sinx∙cos∙xdx или
Интегрируем ,
Получим .
Зная функции u и v , можно записать ответ.
Ответ: Общее решение уравнения у = .
Пример 2 Найти частное решение дифференциального уравнения , если при .
Решение: Пусть , тогда .
Отсюда, .
Вынесем u за скобки: .
Приравняв скобку к 0 , получим: .
Отсюда, , .
Интегрируем ,
, , .
Подставив в выражение , получим уравнение относительно функции u и решим его.
, , , .
Проинтегрируем . Функция .
Запишем общее решение уравнения: .
Частное решение найдем из условия при .
, , .
Частное решение заданного уравнения имеет вид: .
Ответ: - частное решение уравнения.
Уравнение Бернулли.
Определение.
Дифференциальное уравнение вида , где , называется уравнением Бернулли.
Предполагая, что , разделим обе части уравнения Бернулли на .
В результате получим: (1)
Введем новую функцию . Тогда . Домножим уравнение (1) на и перейдем в нем к функции z(x): , т.е. для функции z(x) получили линейное неоднородное уравнение 1-го порядка. Подставим в его общее решение вместо z(x) выражение , получим общий интеграл уравнения Бернулли, который легко разрешается относительно y. При добавляется решение y(x)=0. Уравнение Бернулли можно также решать, не делая перехода к линейному уравнению путем подстановки , а применяя метод Бернулли.
Рассмотрим применение этого способа для решения уравнения Бернулли на конкретном примере.
Пример. Найти общее решение уравнения: (2)
Решение.
Уравнение (2) является уравнением Бернулли, причем .
Будем искать решение уравнения в виде .
Тогда .
В левой части последнего уравнения сгруппируем второе и третье слагаемые, которые содержат функцию u(x), и потребуем, чтобы . Откуда . Тогда для функции u(x) будем иметь следующее уравнение:
или ,
которое является уравнением с разделяющимися переменными для функции u(x). Решим его ,
,
Следовательно, общее решение данного уравнения имеет вид: , y(x)=0.
ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ
Задание № 7. Найти указанные пределы .
1. а) ; б) ;
в) ; г)
2. a) ; б) ;
в) ; г) ;
3. a) ; б) ;
в) ; г) ;
4. a) ; б) ;
в) ; г) ;
5. a) ; б) ;
в) ; г) ;
6. a) ; б) ;
в) ; г) .
7. a) ; б) ;
в) ; г) ;
8. a) ; б) ;
в) ; г) .
9. a) ; б) ;
в) ; г) ;
10. a) ; б) ;
в) ; г) .
11. a) ; б) ;
в) ; г) .
12. a) ; б) ;
в) ; г) .
13. a) ; б) ;
в) ; г) .
14. a) ; б) ;
в) ; г) .
15. a) ; б) ;
в) ; г) .
16. a) ; б) ;
в) ; г) .
17. a) ; б) ;
в) ; г) .
18. a) ; б) ;
в) ; г) .
19. a) ; б) ;
в) ; г) .
20. a) ; б) ;
в) ; г) .
Задание № 8. Найти производные функций:
1. а) ; б) ;
в) .
2. a) ; б) ;
в) .
3. a) ; б) ;
в) .
4. a) ; б) ;
в) .
5. a) ; б) ;
в) .
6. a) ; б) ;
в) .
7. a) ; б) ;
в) .
8. a) ; б) ;
в) .
9. a) ; б) ;
в) .
10. a) ; б) ;
в) .
11. a) ; б) ;
в) .
12. a) ; б) ;
в) .
13. a) ; б) ;
в) .
14. a) ; б)
в) .
15. a) ; б) ;
в) .
16. a) ; б) ;
в) .
17. a) ; б) ;
в) .
18. a) ; б) ;
в) .
19. a) ; б) ;
в) .
20. a) ; б) ;
в) .
Задание № 9.Исследовать данные функции методами дифференциального исчисления и построить их графики.
1. . 2. . 3. .
4. . 5. . 6. .
7. . 8. . 9. .
10. . 11. . 12. .
13. . 14. . 15. .
16. . 17. . 18. .
19. . 20. .
Задание № 10. Найти указанные неопределенные интегралы и результаты интегрирования проверить дифференцированием.
1. a) ; б) ;
в) .
2. a) ; б) ;
в) .
3. a) ; б) ;
в) .
4. a) ; б) ;
в) .
5. a) ; б) ;
в) .
6. a) ; б) ;
в) .
7. a) ; б) ;
в) .
8. a) ; б) ;
в) .
9. a) ; б) ;
в) .
10. a) ; б) ;
в) .
11. a) ; б) ;
в) .
12. a) ; б) ;
в) .
13. a) ; б) ;
в) .
14. a) ; б) ;
в) .
15. a) ; б) ;
в) .
16 a) ; б) ;
в) .
17. a) ; б) ;
в) .
18. a) ; б) ;
в) .
19. a) ; б) ;
в) .
10. a) ; б) ;
в) .
Задание № 11.Найти общее решение дифференциальных уравнений первого порядка.
1. . 2. .
3. . 4. .
5. . 6. .
7. . 8. .
9. . 10 .
11. . 12. .
13. . 14. .
15. . 16. .
17. . 18. .
19. . 20. .
Литература
1. Богомолов Н.В. Математика: учебник для ссузов / Н.В. Богомолов, П.И. Самойленко. – 7-е изд., стереотип. – М.: Дрофа, 2010г.
2. Бугров Я. С., Никольский С. М. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. – М.: Наука, 1988.
3. Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах : учеб. пособие для вузов: в 2 ч. / П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова. — М. : Изд. дом «ОНИКС 21 век» : Мир и Образование, 2003.
4. Ефимов Н. В. Краткий курс аналитической геометрии. – М.: Наука, 1965.
5. Кадомцев С.Б. Аналитическая геометрия и линейная алгебра. — М. : физ.-мат. лит., 2001.
6. Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики. - М.: Наука, 1989.
7. Лисичкин В.Т, Соловейчик И. Л. Математика: Учеб. Пособие для техникумов. -М.: Высш.шк; 1991г.
8. Лунгу К.Н., Письменный Д.Т., Федин С.Н., Шевченко Ю.А. Сборник задач по высшей математике. 1 курс. – 2-е изд. – М.: Айрис-пресс, 2003.
9. Мальцев А. И. Основы линейной алгебры. – М.: Наука, 1975.
10. Минорский В. П. Сборник задач по высшей математике. – М.: Наука, 1971.
11. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. В 2 т. - М.: Наука, 1970 [и последующие издания].
12. В.А. Подольский, А.М. Суходский, Е.М. Мироненко. Сборник задач по математике.- М. 1999.
13. Проскуряков И. В. Сборник задач по линейной алгебре. – М.: Юнимедиастайл, 2002.
14. В.И. Смирнов. Курс высшей математики. 1,2 том. М. 1996.
15. Фаддеев Д. К., Соминский И. С. Задачи по высшей алгебре. – С.-П.: изд-во «Лань», 1999.
16. Г.М. Фихтенгольц. Курс дифференциального и интегрального исчисления. М. 1977.
17. Шипачев В.С. Высшая математика. М.: Высш. шк., 2005.