Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнения Бернулли

4.1.Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, линейное относительно неиз- вестной функции у (х) и ее производной у¢, т. е. уравнение вида

у¢ + р (х) × у = q(x) ,

где р (х) и q (x) – непрерывные функции от х.

Если

q(x) º 0 , то уравнение называется линейным одно-

родным уравнением.

4.2.Метод решения линейного уравнения – метод вариа-

ции произвольной постоянной – заключается в следующем.

Сначала находят общее решение однородного уравнения

у¢ + р(х) × у = 0 ,

которое имеет вид

у = с × е-ò р( х)dx .

Следуя методу вариации произвольной постоянной, общее решение неоднородного уравнения следует искать в виде

у = с(х) × е-ò р( х)dx , где с (х) – неизвестная пока функция от х.

После нахождения этой функции общее решение данного

уравнения станет известным.

4.3.Общее решение линейного уравнения может быть найдено другим способом.

Положим

у = u(x) × v(x) ,

где u (x) и v (x) – неизвестные пока функции. Найдя

у¢ = u¢ × v + u × v¢

и подставив в данное уравнение нужные выражения, будем иметь

u¢ × v + u × v¢ + p(x) × u × v = q(x) ,

или после преобразований

u¢ × v + u ( p( x) × v + v¢) = q(x) .

В качестве функции v (x) возьмем любое частное решение урав- нения

v¢ + p(x) × v = 0 ,

вторую функцию u (x) найдем, решив уравнение

u¢ × v = q(x) .

Найдя обе функции u (x) и v (x), мы найдем и общее решение уравнения

у = u (x) × v(x) .

4.4.Дифференциальное уравнение может оказаться ли- нейным относительно функции х (у) и ее производной х¢.Такое уравнение выглядит так:

х¢ + р( у) × х = q( у) .

4.5.Уравнение Бернулли имеет вид

у¢ + p( x) у = q( x) × уn , n ¹ 0, n ¹ 1.

Это уравнение заменой уравнению

z = y1- n

можно свести к линейному

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнения Бернулли - student2.ru 1 - n

+ p ( x) × z = q( x) .

Более удобным практически является метод решения уравнения

с помощью подстановки Бернулли к линейному.

y = u (x) × v(x)

без сведения уравнения


Наши рекомендации