Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.

Как обыкновенные дифференциальные уравнения, так и уравнения в частных производных можно разделить на линейные и нелинейные. Дифференциальное уравнение является линейным, если неизвестная функция и её производные входят в уравнение только в первой степени (и не перемножаются друг с другом). Для таких уравнений решения образуют аффинное подпространство пространства функций. Теория линейных ДУ развита значительно глубже, чем теория нелинейных уравнений.

Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида

Здесь a(x) и b(x) — известные, непрерывные на [a;b] функции.

Доказано, что если функции a(x) и b(x) непрерывны на [a;b] , то для любой начальной точки (x₀, y₀) , x₀∈ [a; b] , задача Коши

имеет единственное решение y = y(x) на [a;b].

Рассматривают однородные и неоднородные линейные уравнения первого порядка:

Общее решение линейного уравнения 1-го порядка можно найти с помощью замены y(x) = u(x) · v(x) .

Общее решение линейного дифференциального уравнения первого порядка

с непрерывными на [a;b] коэффициентами a(x) и b(x), вычисленное методом вариации произвольной постоянной (методом Лагранжа), записывается в виде

где C — произвольная постоянная, x₀∈ [a; b], x∈ [a; b].

Найдём методом вариации произвольной постоянной (методом Лагранжа) общее решение линейного дифференциального уравнения 1-го порядка

и решение задачи Коши

Сначала рассмотрим соответствующее однородное уравнение:

Это уравнение — уравнение с разделяющимися переменными, решение которого легко найти:

где C — произвольная постоянная.

Теперь будем искать решение неоднородного линейного уравнения в виде

где C(x) — неизвестная функция. В этом собственно и состоит метод Лагранжа — метод вариации (изменения) произвольной постоянной.

Подставляя выражение для y(x) в исходное неоднородное уравнение, получаем:

где C — произвольная постоянная. Теперь найдём решение задачи Коши:

Таким образом получено общее решение линейного дифференциального уравнения 1-го порядка

и решение задачи Коши

На рисунке изображены интегральные кривые уравнения (чёрный цвет) и график решения задачи Коши (красная линия).

Уравнения Бернулли.

Уравнением Бернулли называется уравнение первого порядка вида

Здесь a(x) и b(x) — известные, непрерывные на [a;b] функции, n > 1.

Заменой z(x) = y^1-n(x) уравнение Бернулли сводится к линейному уравнению относительно функции z(x):

Получили линейное относительно z(x) уравнение:

Пример:

Уравнение Бернулли

заменой z(x) = y⁻³(x) при y ≠ 0 сводится к линейному уравнению относительно функции z(x):

Линейное уравнение

решим методом Лагранжа (вариацией произвольной постоянной):

Выполнив обратную подстановку z(x) = y⁻³(x), получим при y ≠ 0 общий интеграл исходного уравнения:

Не следует забывать, что y = 0 — ещё одно решение уравнения.

Уравнение

M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0

называется уравнением в полных дифференциалах, если выражение в левой части уравнения является дифференциалом некоторой функции двух переменных F(x, y), т.е. если

dF(x, y) = M(x, y)dx + N(x, y)dy.

Тогда F(x, y) = C — общий интеграл уравнения. Здесь C — произвольная постоянная.

Уравнение M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 являетсяется уравнением в полных дифференциалах, тогда и только тогда, когда

Пусть выражение M(x, y)dx + N(x, y)dy в левой части уравнения M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 является дифференциалом некоторой функции двух переменных F(x, y):

dF(x, y) = M(x, y)dx + N(x, y)dy.

Равенство dF(x, y) = M(x, y)dx + N(x, y)dy имеет место тогда и только тогда, когда функции M(x, y) и N(x, y) непрерывны вместе со своими частными производными первого порядка в некоторой односвязной области, и

Отсюда следует, что уравнение M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 является уравнением в полных дифференциалах тогда и только тогда, когда

Список литературы

1. Методы, теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Н.И. Гаврилов. Государственное издательство «Высшая школа» Москва-1962г.

2. .В.В.Пак., Ю.Л. Носенко. Высшая математика: Учебник.- Д.: Сталкер,

1997г.

3. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений (8-е изд.). М.: ГИФМЛ, 1959