Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

РЕФЕРАТ

На тему: “дифференциальные уравнения второго порядка”.

Выполнил: студент 205 группы

специальности “фармация”

Петухов.М.С

Проверила: Максимова .И.В

г.Ижевск 2012

Содержание

1.Введение – 1стр

2.Основные понятия – 2стр

3.Линейные ДУ первого порядка – 2стр

4.Линейные ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами – 3стр

5.ДУ в частных производных – 7стр

6.Обыкновенные ДУ – 7стр

7.ДУ с частными производными с особенностями в коэффициентах – 8стр

8.Дифференцированные Уравнения – 9стр

9.Литература – 10стр

10. Заключение – 11стр

Введение

Определение производной от данной функции составляет прямую зада-

чу исчисления бесконечно-малых величин. Общий вопрос обратной задачи

исчисления бесконечно малых состоит в том, чтобы определить одну или

несколько функций одного или нескольких переменных из данных соотно-

шений между независимыми переменными, функциями и их производны-

ми. Пусть имеется ряд независимых переменных:

𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, . . . 𝑥𝑛

и ряд функций от этих переменных

𝑦1, 𝑦2, 𝑦3, . . . 𝑦𝑚.

Тогда соотношения, о которых идет

называются дифференциальными уравнениями; порядок наивысшей про-

изводной называется порядком уравнения. Если 𝑛 = 1, то есть независимое

переменное одно, то уравнения называются обыкновенными, если же 𝑛 > 1,

то — уравнениями с частными производными.

Eсли в уравнения входят производные до порядка 𝑝, то уравнение называ-

ется уравнением -го порядка.

Определение функций из дифференциальных уравнений, или интегри-

рование дифференциальных уравнений, можно понимать различно.

Самая узкая постановка задачи следующая: выразить искомую функ-

цию через элементарные функции. В этом смысле, вообще говоря, задача,

конечно, не всегда разрешима, так как даже для самого простейшего диф-

ференциального уравнения

𝑑𝑦/𝑑𝑥= 𝑓(𝑥)

имеем

𝑦 =∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + 𝐶

и 𝑦 не всегда выражается в элементарных функциях, хотя бы это и имело

место для 𝑓(𝑥).

Во-вторых, нахождение функции, удовлетворяющей дифференциально-

му уравнению, можно понимать в смысле указания приема, которым по

каждому значению переменного находится значение функции. Такие при-емы могут быть весьма разнообразны, например, задача в этом смысле

будет разрешена, коль скоро будет найдено разложение функции в сходя-

щийся ряд, более или менее простого типа. Взяв известное число членов,

для каждого значения переменного в пределах сходимости ряда получим

с любым приближением значение функции.

Третье толкование определения функции из дифференциального урав-

нения состоит в том, что мы считаем задачу разрешенной, как только нам

удастся привести ее к другим более простым задачам, и именно к вычисле-

нию интегралов данных функций, или квадратурам. Таким образом, воз-

никает вопрос о дифференциальных уравнениях, приводимых к квадрату-

рам.

Дифференциальные уравнения

1. Основные понятия

Определение. Уравнение вида
F(x,y,y',y'',…,y⁽ⁿ⁾) = 0,
связывающее аргумент х, функцию у(х) и ее производные, называется дифференциальным уравнением n-го порядка.
Определение. Общим решением дифференциального уравнения n-го порядка называется функция у = φ(х, С₁,С₂,…,С_n), которая зависит от аргумента х и n независимых произвольных постоянных С₁, С₂, …, С_n, обращающая вместе со своими производными у', у'',…, у⁽ⁿ⁾ уравнение в тождество.
Определение. Частным решением уравнения называется решение, которое получается из общего решения, если придавать постоянным С₁, С₂, …, С_n определенные числовые значения.

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Определение. Уравнение вида y'+ρ(x)y=f(x), где ρ(x) и f(x) непрерывные функции, называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка.
Пример. Найти общее решение уравнения y'+3y=e^2x и частное решение,удовлетворяющее начальным условиям х=0, у=1.
Решение. Данное уравнение является линейным.
Здесь ρ(x)=3 и f(x)=e^2x.
Решение ищем в виде y=U∙υ, где U и υ – некоторые функции от х. Находим y'= U'υ+ Uυ' и подставляем в уравнение значение y и y', получаем: U'υ+Uυ'+3Uυ=e^{2 x} или U'υ+U(υ'+3υ)= e^2x.
Найдем одно значение υ, при котором выражение в скобках, обращается в нуль: υ'+3υ=0. Получим уравнение с разделяющимися переменными. Решая его получаем: ln υ =–3x,υ=e^–3x.
Подставляем найденное значение υ в исходное дифференциальное уравнение, получаем уравнение с разделяющимися переменными:
.
Итак, общее решение данного уравнения имеет вид:
. 2
Найдем частное решение. Для этого подставим начальные условия в выражение для общего решения и найдем С.
.
Частное решение имеет вид: .