ЗАНЯТИЕ 3. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнения Бернулли.

Ауд.

Л-3

гл.10: № 67, 68, 74, 78, 83, 86, 92, 95,179, 193.

☺ ☻ ☺

Пример 1–67: Решить дифференциальное уравнение: y′+2xy=x . (1)

Решение:

1). Приводим уравнение к «стандартной форме»: y′+P(x)∙y=Q(x).

2). Данное уравнение решаем, применяя общий алгоритм:

a⁰. Решение уравнения ищем в виде: функции y=u∙v.

a¹. Вычислим интеграл: – и запишем: u= .

a². Вычислим функцию v: v = +С.

a³. Запишем общее решение уравнения: y=u∙v= ∙ .

3). В нашем случае: уравнение линейное, имеет «стандартную форму»: y′+P(x)∙y=Q(x)!

a⁰. Решение уравнения ищем в виде функции: y=u∙v.

a¹. Вычислим интеграл: – =–2 =– x² → u= .

a². Вычислим функцию v: v = +С= +С = = +С;

a³. Запишем общее решение уравнения: y=u∙v= ∙ .

Ответ: y=u∙v= ∙ – общее решение.

Пример 2–68: Решить дифференциальное уравнение: y′ =3 +x.

Решение:

1). Приводим уравнение к «стандартной форме»: y′–3 ∙y=x.

2). Данное уравнение решаем, применяя общий алгоритм:

a⁰. Решение уравнения ищем в виде функции: y=u∙v.

a¹. Вычислим интеграл: – =3 =3ln|x| → u= =x³.

Замечание: в последней записи выражения для u знак модуля опущен, так как от функции u(x) требуется только обеспечить выполнение равенства: u′+ P(x)∙u=0 (см. вывод формулы для решения y = u(x)∙v(x)!).

a². Вычислим функцию v: v = +С= +С =– +С.

a³. Запишем общее решение уравнения: y=u∙v=x³∙ =Сx³– x².

Ответ: y=u∙v= Сx³– x²– общее решение.

Пример 3–74: Решить дифференциальное уравнение: y′ = .

Решение:

1). Приводим уравнение к «стандартной форме»: x′– ∙x= y². Переход от записи решения в виде y=y(x) к записи x=x(y) подсказан исходным выражением вполне выразительно!

2). Данное уравнение решаем, применяя общий алгоритм:

a⁰. Решение уравнения ищем в виде функции: x=u(y)∙v(y).

a¹. Вычислим интеграл: – = =ln|y| → u= =y.

Замечание: в последней записи выражения для u знак модуля опущен (см. Пример 2-68).

a². Вычислим функцию v: v = +С= +С = y²+С.

a³. Запишем общее решение уравнения: x=u∙v= y ∙ =Сy+ y³.

Ответ: x=u∙v= Сy+ y³ – общее решение. Из исходного уравнения также: y=0 – решение.

Пример 4–78: Решить дифференциальное уравнение: xy′+x²+xy=y.

Решение:

1). Приводим уравнение к «стандартной форме»: y′+ ∙y = –x. Переход от записи решения в виде y=y(x) к записи x=x(y) подсказан исходным выражением вполне выразительно!

2). Данное уравнение решаем, применяя общий алгоритм:

a⁰. Решение уравнения ищем в виде функции: y=u(x)∙v(x).

a¹. Вычислим интеграл: – = =ln|x|– x → u= =xe^–x.

Замечание: в последней записи выражения для u знак модуля опущен (см. Пример 2-68).

a². Вычислим функцию v: v = +С= +С =–e^x+С.

a³. Запишем общее решение уравнения: y=u∙v= xe^–x∙ =x∙(Сe^–x–1).

Ответ: y=u∙v= x∙(Сe^–x–1) – общее решение.

Пример 5–83: Решить дифференциальное уравнение: y′ +y∙tgx = , y(0)=0.

Решение:

1). Уравнение записано в «стандартной форме».

2). Данное уравнение решаем, применяя общий алгоритм:

a⁰. Решение уравнения ищем в виде функции: y=u∙v.

a¹. Вычислим интеграл: – =– =ln|cosx| → u= = cosx.

Замечание: в последней записи выражения для u знак модуля опущен (см. Пример 2-68).

a². Вычислим функцию v: v = +С= +С =tgx+С.

a³. Запишем общее решение уравнения: y=u∙v= cosx ∙ = sinx+Сcosx.

a⁴. Найдем частное решение уравнения: 0= sin0+Сcos0 → С=0; y= sinx– частное решение уравнения для начальных условий: y(0)=0.

Ответ: y= sinx+Сcosx – общее решение; y= sinx – частное решение.

Пример 6–86: Решить дифференциальное уравнение: y′+4xy=2x∙ ∙ . (1)

Решение:

1). Имеем уравнение (1) Бернулли в «стандартной форме».

2). Данное уравнение решаем, применяя общий алгоритм:

a⁰. Примем: z = y^–n+1;

a¹. Запишем преобразованное уравнение Бернулли: z′+(–n+1)P(x)∙ z=(–n+1)Q(x), или (для удобства!): z′+P₁(x)∙z=Q₁ (x);

a². Решение уравнения ищем в виде функции: z=u(x)∙v(x).

a³. Вычислим интеграл: – → u= .

a⁴. Вычислим функцию v: v = +С.

a⁵. Запишем общее решение уравнения: z=u∙v= ∙ .

3). В нашем случае: уравнение Бернулли в «стандартной форме», для n= .

a⁰. Примем: z = y^–n+1, где (–n+1)= ; то есть: z= .

a¹. Запишем преобразованное уравнение Бернулли: z′+ 4x∙z= 2x∙ , или:

z′+2x∙z= x∙ . (2)

a². Решение уравнения ищем в виде функции: z=u(x)∙v(x).

a³. Вычислим интеграл: – =– =–x² → u= = .

a⁴. Вычислим функцию v: v = +С= x²+С.

a⁵. Запишем общее решение уравнения для (2): z=u∙v= ∙ . (3)

a⁶. Учитывая: z= , запишем общее решение для (1): = ∙ .

Ответ: = ∙ – общее решение.

Пример 7–92: Решить дифференциальное уравнение: xy′+y=2x²∙ ylny ∙ y′. (1)

Решение:

1). Очевидно: (1) не является уравнением Бернулли для y, y′. Это подсказывает необходимость перехода к функции x=x(y): x′+ x=2lny∙x². (2)

2). Получили уравнение (2) Бернулли в «стандартной форме», для n=2.

a⁰. Примем: z = x^–n+1, где (–n+1)= –1; то есть: z= x^–1.

a¹. Запишем преобразованное уравнение Бернулли: z′– z= –2lny. (3)

a². Решение уравнения ищем в виде функции: z=u(y)∙v(y);

a³. Вычислим интеграл: – = =lny → u= = y.

Замечание: в последней записи выражения для u знак модуля опущен, так как исходное выражение предполагает y >0.

a⁴. Вычислим функцию v: v = = –2 +С= – ln²y +С;

a⁵. Запишем общее решение уравнения для (3): z=u∙v= y∙ . (4)

a⁶. Учитывая: z= x^–1, запишем общее решение для (1): xy =1.

Ответ: xy =1 – общее решение уравнения.

Пример 8–95: Решить дифференциальное уравнение: ydx+ dy =0, y =1. (1)

Решение:

1). Очевидно: (1) не является уравнением Бернулли для y, y′. Это подсказывает необходимость перехода к функции x=x(y): x′+ x= x³. (2)

3). Получили уравнение (2) Бернулли в «стандартной форме», для n=3.

a⁰. Примем: z = x^–n+1, где (–n+1)= –2; то есть: z= x^–2.

a¹. Запишем преобразованное уравнение Бернулли: z′–2 z= –1. (3)

a². Решение уравнения ищем в виде функци: z=u(y)∙v(y);

a³. Вычислим интеграл: – =2 =2ln|y| → u= = y².

Замечание: в последней записи выражения для u знак модуля опущен (см. Пример 2-68). В то же время есть возможность записать: 2ln|y| = lny².

a⁴. Вычислим функцию v: v = = – +С= +С.

a⁵. Запишем общее решение уравнения для (3): z=u∙v=y²∙ . (4)

a⁶. Учитывая: z=x^–2, запишем общее решение для (1): x²(y + Сy²)=1.

a⁷. Найдем частное решение для (1): так как (1 + С1²)=1 → С=3, то частное решение имеет вид: x²(y +3y²)=1.

Ответ: x²(y + Сy²)=1 – общее решение уравнения; частное решение: x²(y +3y²)=1.

Пример 9–179: Найти уравнение кривой, проходящей через точку (1,0), если площадь трапеции, образованной касательной в этой точке, осями координат и ординатой точки касания, постоянна и равна .

Решение:

В Примере 1–19 получено выражение: отрезка А=OА=(0,y–y′х), – отсекаемого касательной на оси ординат.

1). Так как площадь трапеции вычисляется по формуле: S= h, где a и b – стороны оснований, h – высота трапеции, условие задачи запишем так:

▪ (ОА+ND)∙ОD=2S=3 → (y–y′х+y)∙х =3; (1)

▪ (ОА+ND)∙ОD=2S=3 → (y–y′х+y)∙х =–3. (2)

Случай-1.

2). Запишем (1), в виде: y′– y=– – «стандартная форма» линейного уравнения.

a⁰. Решение уравнения ищем в виде функции: y=u∙v.

a¹. Вычислим интеграл: – =2 =2ln|x| → u=x².

a². Вычислим функцию v: v = +С=–3 +С =x^–3+С;

a³. Запишем общее решение уравнения: y=u∙v= x²∙( x^–3+С)= +Cx².

a⁴. Запишем частное решение уравнения: y= –x², при С=–1.

Случай-2.

3). Запишем (2), в виде: y′– y= – «стандартная форма» линейного уравнения.

a⁰. Решение уравнения ищем в виде: функцию y=u∙v.

a¹. Вычислим интеграл: – =2 =2ln|x| → u=x².

a². Вычислим функцию v: v= +С= 3 +С =–x^–3+С;

a³. Запишем общее решение уравнения: y=u∙v=x²∙(–x^–3+С)=Cx²– . Это решение «симметрично относительно оси ОХ» решению, полученному в Случае-1.

a⁴. Запишем частное решение уравнения: y= x²– , при С=1.

4). Построим эскиз графика функции y= –x², используя известные графики для гиперболы и параболы и применяя понятие «сумма функций» (см. рисунок).

Ответ: для Случая-1: y= –x² – частное решение ДУ; для Случая-2: y= x²– – частное решение ДУ.

Замечание: Если не заметить присутствия двух различных вариантов решения рассмотренной задачи, то «зеркальное решение» будет потеряно. В задачах физики это дополнительно подсказывает важность понимания начальных условий исследуемого процесса: возможно исследователю потребуются дополнительные эксперименты для уточнения особенностей протекания процесса.

Пример 10–193: Лодка замедляет свое движение под действием сопротивления воды, которое пропорционально скорости лодки. Начальная скорость лодки 1.5 м/с, скорость её через 4 секунды равна 1м/с. Когда скорость уменьшится до 1 см/с? Какой путь пройдет лодка до остановки?

Решение:

Для решения задачи необходимо уточнить: система координат, используемая при решении задачи, связана с берегом реки и считается инерциальной. Это значит, что второй закон Ньютона в этой системе выполняется и можно записать дифференциальное уравнение:

m∙v′=– k∙v, (1)

где m – масса лодки с гребцом; k – коэффициент торможения лодки из-за сопротивления воды. Движение лодки происходит по инерции (гребец «сушит весла»!).

Обозначим: – =μ и запишем уравнение в виде, удобном для интегрирования:

= μ∙dt. (2)

Интегрируя (2), получаем: v =v₀∙e^μt, где v₀=1.5 м/с. В задаче не определены ни движущаяся масса, ни коэффициент трения лодки о воду. Но мы имеем дополнительные сведения (легко устанавливается экспериментально!), которые позволят полностью определить закон движения лодки.

Из условия: для t=4c имеем v = 1 [м/с] → 1=1.5∙ e^μ4. Отсюда: (e^μ)⁴= ≈ 0.67 и e^μ ≈ =λ.

Итак, закон движения: v =v₀∙λ^t. У нас v =1.5∙λ^t. После этого можем определить время, когда скорость лодки уменьшилась до 1 см/с: 0.01=1.5∙λ^t, откуда → t ≈ 50с.

Для ответа на второй вопрос необходимо проинтегрировать уравнение: dx=1.5∙λ^tdt. Примем, что начальное положение лодки: x₀=0. Тогда x=1.5∙ =1.5∙lnλ(0–λ^t) ≈ 15м.

Замечание: при вычислении несобственного интеграла учтено, что для верхнего предела значение этого интеграла равно нулю!

Ответ: Время: t ≈ 50с. До полной остановки лодка переместится на расстояние x ≈ 15м (это будет проистекать бесконечно долго!).

* * * * * * * * * *

Домашнее задание

Дома

Л-2

гл.10: № 70, 71, 72, 75, 85, 87, 89, 94, 180, 198.

Пример 1–70: Решить дифференциальное уравнение: (1+ x²)y′= 2xy+(1+ x²)². (1)

Решение:

1). Так как заданное уравнение не «стандартной формы», приводим его к стандартной форме: y′+P(x)∙y=Q(x), то есть: y′– y= x²+1. (2)

2). Данное уравнение решаем, применяя общий алгоритм:

a⁰. Решение уравнения ищем в виде функции: y=u∙v.

a¹. Вычислим интеграл: – и запишем: u= .

a². Вычислим функцию v: v = +С.

a³. Запишем общее решение уравнения: y=u∙v= ∙ .

3). В нашем случае: уравнение линейное, имеет «стандартную форму»: y′+P(x)∙y=Q(x)!

a⁰. Решение уравнения ищем в виде функции: y=u∙v.

a¹. Вычислим интеграл: – =– =–ln(x²+1) → u= = x²+1.

a². Вычислим функцию v: v = +С= +С = x +С.

a³. Запишем общее решение уравнения: y=u∙v=(x²+1)∙(x +С).

Ответ: y=u∙v=(x²+1)∙(x +С) – общее решение.

Пример 2–71: Решить дифференциальное уравнение: y′ +2y =e^3x.

Решение:

1). Уравнение записано в «стандартной форме».

2). Данное уравнение решаем, применяя общий алгоритм:

a⁰. Решение уравнения ищем в виде функции: y=u∙v.

a¹. Вычислим интеграл: – =– =–2x → u= = e^–2x.

a². Вычислим функцию v: v = +С= +С = e^5x +С.

a³. Запишем общее решение уравнения: y=u∙v= e^–2x ∙ = e^3x +Сe^–2x.

Ответ: y= e^3x +Сe^–2x – общее решение.

Пример 3–72: Решить дифференциальное уравнение: y′ + =2lnx +1.

Решение:

1). Приведём уравнение к «стандартной форме»: y′ + y =2lnx +1.

2). Данное уравнение решаем, применяя общий алгоритм:

a⁰. Решение уравнения ищем в виде функции: y=u∙v.

a¹. Вычислим интеграл: – =– =– lnx → u= = .

a². Вычислим функцию v: v= +С= +С =2 + +С. Если учесть «табличный» интеграл (легко получить интегрированием по частям!): = = lnx– , то: v=x²lnx+ – +С =x²lnx+С.

a³. Запишем общее решение уравнения: y=u∙v= ∙ = xlnx + .

Ответ: y= xlnx + – общее решение.

Пример 4–75: Решить дифференциальное уравнение: (1+ x²)dx=(arctgy–x)dy.

Решение:

1). Видим, что по y и y′ уравнение не приводится к линейному уравнению. Приведём уравнение к «стандартной форме» линейного по по x и x′: x′ + x = .

2). Данное уравнение решаем, применяя общий алгоритм:

a⁰. Решение уравнения ищем в виде функции: y=u∙v.

a¹. Вычислим интеграл: – =– =– arctgy → u= = .

a². Вычислим функцию v: v= +С= +С=[Примем: arctgy=t]= = +С=[см. таблицу интегралов!]=te^t–e^t+С= arctgy – +С.

a³. Запишем общее решение уравнения: y=u∙v= ∙ = =arctgy–1+C

Ответ: y= arctgy–1+C – общее решение.

Пример 5–85: Решить дифференциальное уравнение: y′ = , y(1)=1.

Решение:

1). Видим, что по y и y′ уравнение не приводится к линейному уравнению. Приведём уравнение к «стандартной форме» линейного по по x и x′: x′ + x =2lny+1.

2). Данное уравнение решаем, применяя общий алгоритм:

a⁰. Решение уравнения ищем в виде функции: x=u∙v.

a¹. Вычислим интеграл: – =– =– lny → u= = .

a². Вычислим функцию v: v= +С= +С =2 + +С. Если учесть результат Примера 3–72, то: v= y²lny+С.

a³. Запишем общее решение уравнения: x=u∙v= ∙(y²lny+С) = ylny + .

a⁴. Запишем частное решение уравнения: x = ylny + , так как С=1.

Ответ: x = ylny + – общее решение; частное решение: x = ylny + .

Пример 6–87: Решить дифференциальное уравнение: dy =(y²e^x–y)dx. (1)

Решение:

1). Из исходного уравнения: y=0–решение. Перепишем (1): y′+y =e^x∙y². (2)

2). Получили уравнение (2) Бернулли в «стандартной форме», для n=2.

a⁰. Примем: z = y^–n+1, где (–n+1)= –1; то есть: z= y^–1.

a¹. Запишем преобразованное уравнение Бернулли: z′–z= – e^x. (3)

a². Решение уравнения ищем в виде функции: z=u(x)∙v(x);

a³. Вычислим интеграл: – = =x → u= = e^x.

a⁴. Вычислим функцию v: v = = +С= – x +С;

a⁵. Запишем общее решение уравнения для (3): z=u∙v= e^x ∙( С–x). (4)

a⁶. Учитывая: z= y^–1, запишем общее решение для (1): y^–1=e^x ∙( С–x).

Ответ: ye^x ∙( С–x)=1 – общее решение уравнения, также y=0.

Пример 7–89: Решить дифференциальное уравнение: y′ = yctgx+ . (1)

Решение:

1). Из исходного уравнения: y=0–решение. Перепишем (1): y′–ctgxy = ∙y³. (2)

2). Получили уравнение (2) Бернулли в «стандартной форме», для n=3.

a⁰. Примем: z = y^–n+1, где (–n+1)= –2; то есть: z= y^–2.

a¹. Запишем преобразованное уравнение Бернулли: z′+ctgx∙z= –2 . (3)

a². Решение уравнения ищем в виде функции: z=u(x)∙v(x);

a³. Вычислим интеграл: – =–2 =–2ln|sinx| → u= = .

a⁴. Вычислим функцию v: v = = +С=–2 +С=2cosx+C;

a⁵. Запишем общее решение уравнения для (3): z=u∙v= (2cosx+C). (4)

a⁶. Учитывая: z= y^–2, запишем общее решение для (1): y^–2= (2cosx+C).

Ответ: sin²x= y²(2cosx+C) – общее решение уравнения, также y=0.

Пример 8–94: Решить дифференциальное уравнение: 3dy= –(1+3y³)y∙sinxdx, y =1. (1)

Решение:

1). Из исходного уравнения: y=0–решение. Перепишем (1): y′+ sinx∙y =–sinx∙y⁴. (2)

2). Данное уравнение решаем, применяя общий алгоритм:

a⁰. Примем: z = y^–n+1, где (–n+1)= –3; то есть: z= y^–3.

a¹. Запишем преобразованное уравнение Бернулли: z′–sinx∙z= 3sinx. (3)

a². Решение уравнения ищем в виде функции: z=u(x)∙v(x);

a³. Вычислим интеграл: – = =–cosx → u= =e^–cosx.

a⁴. Вычислим функцию v: v = = + С = –3 + С =

=–3e^cosx +С;

a⁵. Запишем общее решение уравнения для (3): z=u∙v= e^–cosx (–3e^cosx +С). (4)

a⁶. Учитывая: z= y^–3, запишем общее решение для (1): y^–3=Ce^–cosx –3.

a⁴. Запишем частное решение уравнения: y^–3=4e^–cosx –3, так как С=4.

Ответ: y^–3=Ce^–cosx –3 – общее решение; частное решение: y^–3=4e^–cosx –3.

Пример 9–180: Найти уравнение кривой, проходящей через точку (0,1), если площадь треугольника, образуемого осью абсцисс, касательной и радиус-вектором точки касания, постоянна и равна 1.

Решение:

В Примере 1–19 получено выражение: отрезка Т=OТ= , – отсекаемого касательной на оси абсцисс.

1). Так как площадь треугольника вычисляется по формуле: S= ah, где a–основание, h – высота треугольника, условие задачи запишем так:

▪ ОТ∙ND=2S=2 → ∙y =2; (1)

▪ ОT∙ND=2S=–2 → ∙y =–2 (2)

Случай-1.

2). Запишем (1), в виде: x′– x=– – «стандартная форма» линейного уравнения.

a⁰. Решение уравнения ищем в виде функции: x=u∙v.

a¹. Вычислим интеграл: – = =ln|y| → u=y.

a². Вычислим функцию v: v = +С=–2 +С =y^–2+С.

a³. Запишем общее решение уравнения: x=u∙v=y ∙(y^–2+С)= +Cy.

a⁴. Запишем частное решение уравнения: x= –y, при С=–1.

Случай-2.

3). Запишем (2), в виде: x′– x= – «стандартная форма» линейного уравнения.

a⁰. Решение уравнения ищем в виде функции: x=u∙v.

a¹. Вычислим интеграл: – = =ln|y| → u=y.

a². Вычислим функцию v: v = +С=2 +С =–y^–2+С;

a³. Запишем общее решение уравнения: x=u∙v=y∙(С–y^–2)=Cy– . Это решение «симметрично относительно оси ОХ» решению, полученному в Случае-1.

a⁴. Запишем частное решение уравнения: x=y– , при С=1.

4). Построим эскиз графика функции x= –y, используя известные графики для гиперболы и прямой и применяя понятие «сумма функций» (см. рисунок: выделено красным).

Ответ: для Случая-1: x= –y – частное решение ДУ; для Случая-2: x= y – – частное решение ДУ.

Замечание: Если не заметить присутствия двух различных вариантов решения рассмотренной задачи, то «зеркальное решение» будет потеряно. В задачах физики это дополнительно подсказывает важность понимания начальных условий исследуемого процесса: возможно исследователю потребуются дополнительные эксперименты для уточнения особенностей протекания процесса.

Пример 10–198: Сила тока i в цепи с сопротивлением R, индуктивностью L и напряжением u удовлетворяет уравнению: L∙ + R∙i = u. Найти силу тока i в момент времени t, если u= Esinωt и i = 0 при t = 0 (L, R, E, ω – постоянные).

Решение:

1). Приведём уравнение к «стандартной форме»:

i′ + a∙i = b∙u: (1)

где a= и b= (принято для удобства записи).

2). Данное уравнение решаем, применяя общий алгоритм:

a⁰. Решение уравнения ищем в виде: функцию i=z∙v.

a¹. Вычислим интеграл: – =–a =–at → z= =e^–at.

a². Вычислим функцию v: v= +С=b +С=bE +С. Вычислим интеграл: J= =[дважды применяется «интегрирование по частям», затем решение алгебраического равенства относительно символа J]= e^at∙(a∙sinωt–ω∙cosωt). Тогда окончательно: v=bE∙J+С, или v=bE∙J+bE∙С=bE∙(J+С). Последнее определяется «удобством!»: допустимо, так как bE – постоянная величина!

a³. Запишем общее решение уравнения: i=u∙v=bE∙e^–at∙(J+С). (2)

a⁴. Запишем частное решение уравнения из условия: i(0)=0 → легко вычисляется С= → частное решение: i=bE∙ (a∙sinωt–ω∙cosωt+ω∙e^–at). С учетом значений a и b получим окончательно: i= (R∙sinωt–Lω∙cosωt+Lω∙ ).

Ответ: i= (R∙sinωt–Lω∙cosωt+Lω∙ ) – частное решение.

☻

Вопросы для самопроверки:

1. Как определяют линейное дифференциальное уравнение 1-го порядка?

2. Что значит: «стандартная форма» линейного уравнения, зачем её вводят?

3. Какова основная «идея» способа «подстановки» решения линейного уравнения?

4. Всегда ли можно «проинтегрировать» линейное ДУ?

5. Какие уравнения относят к уравнениям Бернулли?

6. В чем особенность интегрирования уравнения Бернулли?

7. Бывают ли уравнения Бернулли, которые невозможно «проинтегрировать»?

< * * * * * >