Раздел 1. линейная алгебра
Т.А. Ярцева
МАТЕМАТИКА
Сборник заданий
Белгород
«Кооперативное образование»
образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«БЕЛГОРОДСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ПОТРЕБИТЕЛЬСКОЙ КООПЕРАЦИИ»
Т.А. Ярцева
МАТЕМАТИКА
Сборник заданий
Рекомендовано Научно-методическим советом университета
Белгород
«Кооперативное образование»
| ББК 22.1 Я 79 | Рекомендовано к изданиюкафедрой естественнонаучных дисциплин. Протокол № 5 от 21 января 2009 г. |
Автор
Ярцева Татьяна Александровна, старший преподаватель кафедры естественнонаучных дисциплин Белгородского университета потребительской кооперации
Рецензент
Сучков Владилен Константинович, кандидат физико-матема-тических наук, доцент кафедры естественнонаучных дисциплин Белгородского университета потребительской кооперации
Ярцева Т.А.
Я 79 Математика:Сборник заданий. – Белгород: Кооперативное образование, 2009. – 131 с.
Сборник содержит задания для самостоятельной и индивидуальной работы студентов по основным разделам курса математики. Многие задачи имеют прикладную направленность.
Издание предназначено для студентов специальностей «Менеджмент организации», «Управление персоналом».
ББК 22.1
Ó Издательство БУПК
«Кооперативное образование», 2009
Содержание
| Введение……………………………………………………….. | |
| Раздел 1. Линейная алгебра и аналитическая геометрия…… | |
| 1.1. Определители и матрицы……..………………………. | |
| 1.2. Системы линейных уравнений………………….......... | |
| 1.3. Векторы…………………………..…………………….. | |
| 1.4. Собственные значения и собственные векторы матриц………………………………………………………............ | |
| 1.5. Квадратичные формы…..……..……………………….. | |
| 1.6. Прямая и плоскость……………………………………. | |
| 1.7. Кривые второго порядка ……………………………. | |
| Раздел 2. Введение в анализ…………………………………... | |
| 2.1. Числовые множества. Комплексные числа………….. | |
| 2.2. Функции одной переменной………………………….. | |
| 2.3. Предел и непрерывность функции………………..….. | |
| Раздел 3. Дифференциальное исчисление функции одной переменной ……………………………………………………. | |
| 3.1. Производная функции ………………………………... | |
| 3.2. Дифференциал функции и его применение…..…….... | |
| 3.3. Правило Лопиталя………………………….................. | |
| 3.4. Исследование функций и построение графиков.......... | |
| 3.5. Экономические приложения производной………….. | |
| Раздел 4. Функции нескольких переменных……………....... | |
| 4.1. Основные понятия. Частные производные………….. | |
| 4.2. Экстремум функции двух переменных…………....... | |
| Раздел 5. Интегральное исчисление…………….………......... | |
| 5.1. Неопределенный интеграл……………………………. | |
| 5.2. Определенный интеграл и его применение………….. | |
| 5.3. Несобственные интегралы и их применение……........ | |
| Раздел 6. Элементы теории вероятностей…………………… | |
| 6.1. Основные понятия. Классическое определение вероятности…………………………………………………………. | |
| 6.2. Теоремы сложения и умножения вероятностей…….. | |
| 6.3. Формулы полной вероятности и Байеса……………... | |
| 6.4. Повторение испытаний……………………………….. | |
| 6.5. Дискретные случайные величины……………………. | |
| 6.6. Непрерывные случайные величины………………….. | |
| Раздел 7. Элементы математической статистики……............ | |
| 7.1. Выборочный метод статистики………………………. | |
| 7.2. Элементы корреляционно-регрессионного анализа... | |
| Раздел 8. Математические методы в экономике…………….. | |
| 8.1. Линейное программирование………………................ | |
| 8.2. Целочисленное программирование.………….……… | |
| 8.3. Нелинейное программирование……………………… | |
| 8.4. Динамическое программирование…………………… | |
| 8.5. Марковские случайные процессы……………………. | |
| Список литературы……………………………………………. | |
| Приложения……………………………………………………. | |
ВВЕДЕНИЕ
Математика играет важную роль в естественнонаучных, инженерно-технических и гуманитарных исследованиях. Без современной математики с ее развитым логическим и вычислительным аппаратом был бы невозможен прогресс в различных областях человеческой деятельности.
Математика – не просто наука, оперирующая цифрами. Математика – это средства, принципы и методы формального описания любых объектов, явлений, процессов. Математическое исследование объекта или процесса позволяет выявить присущие ему закономерности, основные свойства, законы изменения и взаимодействия с другими объектами и явлениями; позволяет управлять этим объектом или процессом, найти оптимальные способы управления при заданных целях и предвидеть последствия этого управления.
Математика является не только мощным средством решения прикладных задач, но и элементом общей культуры. Математическое образование следует рассматривать как важнейшую составляющую в системе фундаментальной подготовки современного специалиста.
Данный сборник составлен в соответствии с требованиями Государственного образовательного стандарта по математике для специальностей «Менеджмент организации» и «Управление персоналом» и содержит задачи для самостоятельной работы студентов, часть из которых может быть использована на практических занятиях. Многие задачи имеют экономическое содержание. В конце сборника помещен некоторый справочный материал по школьной математике, а также список литературы, изучение которой поможет в решении задач и успешном освоении курса математики.
РАЗДЕЛ 1. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Определители и матрицы
Задание 1. Вычислить определители 2 - го порядка:
а) ; б) ; в) .
Задание 2. Вычислить определители 3 - го порядка:
а) ; б) .
Задание 3. Решить уравнения:
а) ; б) .
Задание 4. Вычислить определители 4 – го порядка:
а) ; б) .
Задание 5.Дана матрица . Найти сумму элементов, расположенных а) на главной диагонали; б) на побочной диагонали этой матрицы.
Задание 6. Даны матрицы и . Найти 2×А; ВТ; –3×В; А×В; А2 ; А3.
Задание 7.Даны матрицы А размерности 3×5 и В размерности 5×3. Какую размерность имеет произведение матриц А×В?
Задание 8. При каком значении k матрица будет вырожденной?
Задание 9. Найти ранги матриц:
а) ; б) ; в) С=
Задание 10.Найти алгебраическое дополнение элемента матрицы .
Задание 11. При каком значении αматрица
не имеет обратной матрицы?
Задание 12.Дана матрица . Найти обратную матрицу .
Задание 13. Даны матрицы и В . Найти определитель произведения матриц .
Задание 14.Вычислить определитель: а) по правилу треугольников; б) разложением на определители второго порядка.
1. ; 2. ; 3. ;
4. ; 5. ; 6. ;
7. ; 8. ; 9. ;
10. ; 11. ; 12. ;
13. ; 14. ; 15. ;
16. ; 17. ; 18. ;
19. ; 20. ; 21. ;
22. ; 23. ; 24. ;
25. ; 26. ; 27. ;
28. ; 29. ; 30. .
Задание 15. Найти матрицу D = 2А-1 + B – C2, если:
1. , , .
2. , , .
3. , , .
4. , , .
5. , , .
6. , , .
7. , , .
8. , , .
9. , , .
10. , , .
11. , , .
12. , , .
13. , , .
14. , , .
15. , , .
16. , , .
17. , , .
18. , , .
19. , , .
20. , , .
21. , , .
22. , , .
23. , , .
24. , , .
25. , , .
26. , , .
27. , , .
28. , , .
29. , , .
30. , , .
Задание 16. Предприятие выпускает продукцию трех видов, используя при этом сырье двух типов. Матрица характеризует нормы затрат сырья на единицу продукции каждого вида. Стоимость единицы сырья каждого типа задана матрицей-столбцом . План выпуска продукции задается матрицей строкой . Найти матрицы АВ, СА, САВ и объяснить их смысл.
Задание 17.Предприятие производит продукцию трех видов, используя при этом сырье двух типов. Нормы затрат сырья на единицу продукции заданы матрицей . Стоимость единицы сырья каждого типа задана матрицей . Каковы общие затраты предприятия на производство 100 ед. продукции первого вида, 200 ед. продукции второго вида и 150 ед. продукции третьего вида?