Раздел I. Линейная алгебра

1. Понятие матрицы. Частные виды матриц (квадратная, треугольная, диагональная, нулевая, единичная). Элементарные преобразования матриц. Понятие эквивалентности и равенства матриц.

2. Действия над матрицами (сложение, вычитание, умножение матрицы на число, умножение матрицы на матрицу) и их свойства. Линейная комбинация матриц.

3. Определители 2-ого и 3-егопорядка, их вычисление. Основные свойства определителей.

4. Понятие определителя n-ого порядка. Минор и алгебраическое дополнение элемента определителя. Теорема о разложении определителя по элементам строки или столбца.

5. Понятие системы линейных уравнений (СЛУ). Частные виды СЛУ (квадратная, однородная, неоднородная). Матрица, расширенная матрица, определитель СЛУ.

6. Решение, множество решений, совместность, несовместность, определённость, неопределённость, эквивалентность СЛУ. Элементарные преобразования СЛУ, их основное свойство.

7. Теорема Крамера (о разрешимости СЛУ порядка Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru ). Формулы Крамера для решения СЛУ, условия их применимости.

8. Метод Гаусса решения СЛУ, условия его применимости. Условия несовместности, определённости и неопределённости СЛУ по методу Гаусса.

9. Преобразования СЛУ, выполняемые при выполнении прямого и обратного ходов метода Гаусса. Базисные и свободные переменные. Нахождение общего решения СЛУ. Частные решения СЛУ.

10. Понятие обратной матрицы. Вырожденные и невырожденные матрицы. Теорема о существовании обратной матрицы. Основные способы нахождения обратной матрицы.

11. Матричные уравнения и их решение. Матричная форма записи СЛУ. Матричный способ (метод обратной матрицы) решения СЛУ и условия его применимости.

12. Однородные СЛУ, условия существования их ненулевых решений. Свойства частных решений однородных СЛУ.

13. Минор Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru -ого порядка, базисный минор, ранг матрицы. Вычисление ранга матрицы. Критерий совместности СЛУ (теорема Кронеккера-Капелли).

14. Понятие Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru -мерного арифметического вектора. Равенство векторов. Действия над векторами (сложение, вычитание, умножение на число). Линейная комбинация векторов.

15. Скалярное произведение арифметических векторов. Длина вектора и угол между векторами. Понятие ортогональности векторов.

16. Система векторов и её линейная комбинация. Понятие линейной зависимости и независимости системы векторов. Теорема о необходимом и достаточном условиях линейной зависимости системы векторов.

17. Понятие векторного пространства Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru , евклидова пространства Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru . Базис, канонический базис, ранг Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru . Разложение вектора в Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru по векторам его базиса, координаты вектора. Теорема о единственности разложения вектора в данном базисе.

18. Понятие оператора, линейного оператора. Матрица линейного оператора. Сумма (разность) операторов, произведение оператора на число, произведение оператора на оператор, обратный оператор.

19. Понятие собственного числа и собственного вектора оператора. Характеристическое уравнение. Нахождение собственных чисел и векторов оператора.

20. Понятие квадратичной формы. Матрица квадратичной формы. Вырожденная, невырожденная, каноническая квадратичная форма. Закон инерции квадратичных форм.

21. Понятие знакоопределённости квадратичной формы. Главные миноры. Критерии знакоопределённости квадратичной формы.

Раздел II. Векторная алгебра.

22. Понятие геометрического вектора. Равенство векторов. Противоположный вектор. Орт вектора. Графические правила сложения, вычитания, умножения вектора на число. Проекция вектора на вектор.

23. Коллинеарность и компланарность векторов. Базис и канонический базис плоскости Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru ; базис и канонический базис пространства Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru . Координаты вектора.

24. Понятие декартовой системы координат в Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru . Радиус-вектор, координаты точки. Вычисление длины и направляющих косинусов вектора; координат вектора, заданного двумя точками; расстояния между точками.

25. Скалярное произведение векторов и его свойства. Выражение скалярного произведения через координаты векторов. Вычисление угла между векторами. Условие ортогональности векторов.

26. Векторное произведение векторов, его геометрический смысл и свойства. Выражение векторного произведения через координаты векторов. Условие коллинеарности векторов.

27. Смешанное произведение векторов, его геометрический смысл и свойства. Выражение смешанного произведения через координаты векторов. Условие компланарности векторов.

Раздел III. Аналитическая геометрия.

28. Понятие линии на плоскости. Общее уравнение линии и его нахождение по известному геометрическому свойству её точек. Окружность и её уравнение.

29. Прямая линия на плоскости и её общее уравнение. Нормальный и направляющий векторы прямой. Нахождение уравнения прямой, проходящей через точку перпендикулярно вектору. Построение прямой.

30. Каноническое уравнение прямой; уравнение прямой, проходящей через две точки; уравнение прямой с угловым коэффициентом; уравнение прямой в отрезках. Расстояние от точки до прямой на плоскости. Угол между прямыми на плоскости и его вычисление, условия Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru и ½½ прямых.

31. Понятие поверхности. Общее уравнение поверхности, его нахождение по известному геометрическому свойству её точек. Сфера и её уравнение.

32. Плоскость и её общее уравнение. Нормальный вектор плоскости. Уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору. Построение плоскости.

33. Уравнение плоскости, проходящей через три точки; уравнение плоскости в отрезках. Расстояние от точки до плоскости. Угол между плоскостями, условия перпендикулярности и параллельности плоскостей.

34. Понятие линии в пространстве и её общее уравнение. Прямая линия в пространстве и её общее уравнение. Направляющий вектор прямой.

35. Уравнения прямой в пространстве: каноническое, проходящей через две точки; параметрическое. Приведение общего уравнения к каноническому.

36. Угол между двумя прямыми в пространстве, между прямой и плоскостью и их вычисление, условия перпендикулярности и параллельности двух прямых, прямой и плоскости. Точка пересечения прямой и плоскости.

37. Кривая 2-ого порядка на плоскости и её общее уравнение. Классификация кривых 2-ого порядка.

38. Эллипс. Каноническое уравнение эллипса. Построение эллипса. Вершины, полуоси, фокусы, эксцентриситет, общее геометрическое свойство точек эллипса.

39. Гипербола. Каноническое уравнение гиперболы. Построение гиперболы. Вершины, полуоси, фокусы, эксцентриситет, асимптоты, общее геометрическое свойство точек гиперболы.

40. Парабола. Каноническое уравнение параболы. Построение параболы. Вершина, фокус, эксцентриситет, директриса, общее геометрическое свойство точек параболы.

41. Область решений линейного неравенства, системы линейных неравенств в Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru . Графическое изображение области решений системы линейных неравенств в Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru .

Приложения.

Образец решения контрольных задач типового варианта.

1 – 10.Вычислить определитель: Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru

а)непосредственным разложением по Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru строке;

б)непосредственным разложением по Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru столбцу;

Решение. а)вычисляем определитель разложением по элементам первой строки: Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru = Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru .

Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru

Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru

Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru

Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru

Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru

Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru

Тогда Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru = Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru = Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru

б)вычисляем определитель непосредственным разложением по элементам второго столбца: Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru = Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru .

Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru

Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru

Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru

Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru

Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru

Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru

Тогда Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru = Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru = Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru .

Ответ: Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru .

11-20.Найти матрицуРаздел I. Линейная алгебра - student2.ru ,если:

Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru , Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru .

Решение:

1)Транспонируем матрицуРаздел I. Линейная алгебра - student2.ru : Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru .

2)Вычисляем произведение матриц Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru :

Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru

Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru .

3)Находим матрицу Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru :

Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru .

4)Находим матрицу Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru : Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru

Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru .

Ответ: Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru .

21-30.Найти собственные числа и векторы матрицыРаздел I. Линейная алгебра - student2.ru .

Множество собственных чисел матрицы совпадает с множеством корней характеристического уравнения матрицы Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru : Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru , а множество собственных векторов, отвечающих собственному числу Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru , совпадает с множеством ненулевых решений матричного уравнения: Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru , определяемым методом Гаусса.

Решение:

1) Составляем характеристическое уравнение матрицы Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru :

Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru .

Записываем его в виде алгебраического уравнения и находим действительные корни (среди них могут быть и кратные):

Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru

Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru , Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru .

Таким образом, собственными числами матрицы Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru являются: Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru и Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru .

2)Находим собственные векторы матрицы Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru , отвечающие различным собственным числам Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru и Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru .

2.1)Составляем матричное уравнениедля нахождения собственных векторов Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru , отвечающих собственному числу Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru : Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru

или

Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru ,

записываем его в виде системы линейных уравнений: Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru и решаем методом Гаусса. Полученная система, очевидно, эквивалентна системе Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru , имеющей специальный (трапециевидный) вид. Такая система имеет бесконечно много решений, которые записывают в виде общего решения. Для записи общего решения этой системы указываем её базисные и свободные неизвестные. Базисными являются неизвестные, столбцы коэффициентов системы при которых образуют базисный минор матрицы этой системы. Такой минор образует, например, столбец коэффициентов при неизвестной Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru : Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru . Поэтому выбираем в качестве базисной – неизвестную Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru , тогда свободными будут неизвестные Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru и Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru . Свободным неизвестным придаём разные, произвольные постоянные значения: Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru , Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru , где Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru , Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru , одновременно, и выражаем через них значение базисной неизвестной из уравнения системы: Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru . Тогда общее решение системы, задающее множество всех собственных векторов Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru , отвечающих собственному числу Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru будет иметь вид: Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru .

2.2)Составляем матричное уравнениедля нахождения собственных векторов Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru , отвечающих собственному числу Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru : Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru

или

Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru ,

записываем его в виде системы линейных уравнений: Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru и решаем методом Гаусса. Полученная система, очевидно, эквивалентна системе Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru , имеющей специальный (трапециевидный) вид. Система имеет бесконечно много решений. Для записи её общего решения указываем базисные и свободные неизвестные. Базисный минор матрицы системы образуют столбцы коэффициентов при неизвестных Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru и Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru : Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru . Поэтому выбираем в качестве базисных – неизвестные Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru и Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru , тогда свободной будет неизвестная Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru . Свободной неизвестной придаём произвольное постоянное значение: Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru , где Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru и выражаем через неё значения базисных неизвестных Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru и Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru из уравнений системы специального (трапециевидного) вида, начиная с последнего уравнения: Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru . Тогда общее решение системы, задающее множество всех собственных векторов Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru , отвечающих собственному числу Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru , будет иметь вид: Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru , Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru .

Ответ: Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru , Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru , Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru , Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru ;

Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru , Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru , Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru .

31 – 40. Дана система уравнений: Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru . Требуется:

а) найти решение системы методом Крамера; б) записать систему в матричном виде и найти её решение методом обратной матрицы; в) найти решение системы методом Гаусса.

Решение.

А) Метод Крамера.

1а)Вычисляем определитель системы и проверяем, что он отличен от нуля:

Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru

Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru .

2а) Так как Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru , то система имеет единственное решение, определяемое формулами Крамера: Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru

3а) Вычисляем определители Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru :

Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru

Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru ,

Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru

Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru ,

Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru

Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru .

4а) Находим решение: Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru .

5а) Выполняем проверку: Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru .

Ответ: Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru .

Б) Метод обратной матрицы.

1б)Записываем систему уравнений в матричном виде:

Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru или Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru

2б)Вычисляем определитель системы и проверяем, что он отличен от нуля:

Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru

Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru

3б) Так как Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru , то матрица системы Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru имеет обратную матрицу Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru и единственное решение системы определяется формулой:

Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru или Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru

4б)Находим обратную матрицу Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru (методом присоединённой матрицы):

Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru .

Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru

Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru

Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru

Тогда Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru .

5б)Находим решение:Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru

Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru .

6б) Выполняем проверку: Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru .

Ответ: Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru .

В) Метод Гаусса.

1в)Записываем расширенную матрицу системы:

Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru .

2в)Выполняем прямой ход метода Гаусса.

В результате прямого хода матрица системы Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru должна быть преобразована с помощью элементарных преобразований строк к матрице Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru треугольного или трапециевидного вида с элементами Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru . Система уравнений, матрица которой Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru является треугольной с элементами Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru , имеет единственное решение, а система уравнений, матрица которой Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru является трапециевидной с элементами Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru , имеет бесконечно много решений.

Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru .В результате элементарных преобразований матрица Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru системы преобразована к специальному виду Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru . Система уравнений, матрица которой Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru , является треугольной с ненулевыми диагональными элементами Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru , имеет всегда единственное решение, которое находим, выполняя обратный ход.

Замечание. Если при выполнение преобразования расширенной матрицы Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru в преобразованной матрице Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru появляется строка Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru , где Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru , то это говорит о несовместности исходной системы уравнений.

3в)Выполняем обратный ход метода Гаусса.

Записываем систему уравнений, соответствующую последней расширенной матрице прямого хода: Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru и последовательно из уравнений системы, начиная с последнего, находим значения всех неизвестных: Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru .

4в) Выполняем проверку: Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru .

Ответ: Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru .

41-50.Найти общее решение для каждой из данных систем методом Гаусса:

а) Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru .

Решение.

1а)Записываем расширенную матрицу системы:

Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru .

2а)Выполняем прямой ход метода Гаусса.

Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru

Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru

Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru

Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru

Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru

Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru .

Матрица системы приведена к трапециевидному виду с ненулевыми диагональными элементами. Соответствующая такой матрице система уравнений имеет бесконечно много решений, которые находим, выполняя обратный ход, и записываем в виде общего решения. Для записи общего решения указываем её базисные и свободные неизвестные. Базисный минор матрицы системы образуют столбцы коэффициентов при неизвестных Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru и Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru : Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru . Поэтому выбираем в качестве базисных – неизвестные Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru и Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru , тогда свободными будут неизвестные Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru и Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru .

3а)Выполняем обратный ход метода Гаусса.

Записываем систему уравнений, соответствующую последней расширенной матрице прямого хода: Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru . Свободным неизвестным придаём разные, произвольные постоянные значения: Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru , Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru , и последовательно из уравнений системы, начиная с последнего, находим значения всех базисных неизвестных: Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru .

Тогда общее решение системы запишется в виде: Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru .

4а) Выполняем проверку:

Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru .

Ответ: Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru .

б) Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru .

Решение.

1а)Записываем расширенную матрицу системы:

Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru .

2а)Выполняем прямой ход метода Гаусса.

Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru

Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru

Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru

Замечание. В результате прямого хода матрица системы Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru должна быть преобразована с помощью элементарных преобразований строк к матрице Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru треугольного или трапециевидного вида с элементами Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru .

Если, при выполнении преобразования расширенной матрицы Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru , в преобразованной матрице Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru появляется строка Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru , где Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru , то это говорит о несовместности исходной системы уравнений.

Для выполнения условия Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru может потребоваться перестановка местами столбцов матрицы системы. Если при выполнении преобразований прямого хода в матрице системы переставлялись местами столбцы коэффициентов при неизвестных, то в дальнейшем, при записи системы уравнений, соответствующей последней расширенной матрице прямого хода, это следует учесть.

Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru

Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru

Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru

Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru

Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru .

Матрица системы приведена к трапециевидному виду с ненулевыми диагональными элементами. Соответствующая такой матрице система уравнений имеет бесконечно много решений, которые находим, выполняя обратный ход, и записываем в виде общего решения. Для записи общего решения указываем её базисные и свободные неизвестные. Базисный минор матрицы системы, с учётом перестановки местами столбцов, образуют первый и второй столбцы коэффициентов при неизвестных Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru и Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru : Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru . Поэтому выбираем в качестве базисных – неизвестные Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru и Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru , тогда свободными будут неизвестные Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru и Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru .

3б)Выполняем обратный ход метода Гаусса.

Записываем систему уравнений, соответствующую последней расширенной матрице прямого хода: Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru . Свободным неизвестным придаём разные, произвольные постоянные значения: Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru , Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru , и последовательно из уравнений системы, начиная с последнего, находим значения всех базисных неизвестных: Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru .

Тогда общее решение системы запишется в виде:

Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru

4б) Выполняем проверку:

Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru

Ответ: Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru .

в) Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru .

Решение.

1в)Записываем расширенную матрицу системы:

Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru .

2в)Выполняем прямой ход метода Гаусса.

Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru

Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru

Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru

Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru .

При выполнении преобразования расширенной матрицы Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru , в преобразованной матрице Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru появилась строка Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru , соответствующая уравнению Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru , которому не удовлетворяет ни один набор значений неизвестных Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru , что говорит о несовместности исходной системы уравнений.

Ответ: Система несовместна.

51 – 60.Исследовать квадратичную форму на знакоопределённость (по критерию Сильвестра).

а) Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru ; б) Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru

Решение.

1а)Записываем матрицу квадратичной формы: Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru .

2а) Проверяем является ли матрица Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru невырожденной. Для этого вычисляем её определитель Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru и проверяем, равен ли он нулю: Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru . Так как Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru , то матрица Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru - невырожденная и, следовательно, для исследования квадратичной формы на знакоопределённость можно применить критерий Сильвестра.

3а)Вычисляем угловые миноры матрицы Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru и делаем вывод о знакоопределённости квадратичной формы: Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru , Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru , Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru . Так как выполняется условие: Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru , Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru , Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru , то по критерию Сильвестра квадратичная форма положительно определена.

Ответ: Квадратичная форма положительно определена.

1б)Записываем матрицу квадратичной формы: Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru .

2б) Вычисляем её определитель Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru и проверяем, равен ли он нулю: Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru . Так как Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru , то матрица Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru - невырожденная и, следовательно, для исследования квадратичной формы на знакоопределённость можно применить критерий Сильвестра.

3б)Вычисляем угловые миноры матрицы Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru и делаем вывод о знакоопределённости квадратичной формы: Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru , Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru , Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru . Так как два угловых минора нечётного порядка имеют разные знаки: Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru , Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru , то по критерию Сильвестра квадратичная форма знакопеременна.

Ответ: Квадратичная форма знакопеременна.

61 – 70.Даны векторы Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru : Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru ; Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru ; Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru ; Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru . Требуется: а)вычислить скалярное произведение векторов Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru , еслиРаздел I. Линейная алгебра - student2.ru , Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru ; б)вычислить векторное произведение векторов Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru ; в)показать, что векторы Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru образуют базис Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru и найти координаты вектора Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru в этом базисе.

Решение.

1a).Находимвектор

Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru

= Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru .

2а) Находимвектор

Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru

= Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru .

3а)Вычисляем скалярное произведениевекторов Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru :

Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru .

б)Вычисляем векторное произведение векторов Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru :

Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru

= Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru

1в)Покажем, что векторы Раздел I. Линейная алгебра - student2.ruобразуют базисРаздел I. Линейная алгебра - student2.ru .Для этого составим определитель, столбцами которого являются координаты этих векторов и покажем, что он отличен от нуля.

Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru .

Так как Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru , то векторы Раздел I. Линейная алгебра - student2.ruобразуют базисРаздел I. Линейная алгебра - student2.ruи, следовательно, вектор Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru единственным образом можно разложить по векторам этого базиса.

2в)Записываем разложение вектора Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru по векторам базиса Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru :

Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru или Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru .

Коэффициенты разложения Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru , Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru , Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru называют координатами вектора Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru в базисе Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru и записывают: Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru .

3в)Записываем векторное уравнение относительно Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru , Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru , Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru в виде эквивалентной ему системы линейных уравнений: Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru , и находим единственное решение системы, например, по формулам Крамера:

Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru , где

Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru , Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru , Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru , Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru .

Таким образом: Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru , Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru , Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru . Следовательно, разложение имеет вид: Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru или кратко: Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru .

Ответ: Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru .

71-80.Даны вершины треугольника Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru : Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru , Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru , Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru Требуется найти:

а)длину стороныРаздел I. Линейная алгебра - student2.ru ; б)уравнение стороныРаздел I. Линейная алгебра - student2.ru ;

в)уравнение медианы Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru , проведённой из вершиныРаздел I. Линейная алгебра - student2.ru ;

г)уравнение высоты Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru , проведённой из вершиныРаздел I. Линейная алгебра - student2.ru ;

д)длину Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru высотыРаздел I. Линейная алгебра - student2.ru ; е)площадь Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru треугольникаРаздел I. Линейная алгебра - student2.ru .Сделать чертёж.

Решение.Сделаем чертёж:

Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru

а)Длинустороны Раздел I. Линейная алгебра - student2.ruнаходим как длину вектора Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru :

Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru ,

Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru .

б) Уравнение стороны Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru находим как уравнение прямой, проходящей через точки Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru и Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru , и записываем его в виде общего уравнения прямой:

Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru .

в)Уравнение медианы Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru находим как уравнение прямой, проходящей через точки Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru и Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru , и записываем его в виде общего уравнения прямой. Неизвестные координаты точки Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru находим как координаты точки, делящей сторону Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru пополам:

Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru ; Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru .

Тогда: Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru

Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru .

г)Уравнение высоты Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru находим как уравнение прямой, проходящей через точку Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru перпендикулярно вектору Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru , который принимаем за нормальный вектор прямой Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru . Тогда Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru

д)Длину Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru высоты Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru находим как расстояние от точки Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru до прямой Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru , заданной общим уравнением Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru :

Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru .

е)Площадь треугольника Раздел I. Линейная алгебра - student2.ruнаходим по формуле: Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru . Откуда Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru .

Ответ: а) Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru ; б) Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru ; в) Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru ;

г) Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru ; д) Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru ; е) Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru .

81 – 90.Даны вершины пирамидыРаздел I. Линейная алгебра - student2.ru .Требуется найти:

а)длины реберРаздел I. Линейная алгебра - student2.ru и Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru ; б)угол между ребрамиРаздел I. Линейная алгебра - student2.ru и Раздел I. Линейная алгебра - student2.ru ;

Наши рекомендации