Метод интегрирования по частям

Первообразная.

Ф-я F(x) называется первообразной ф-и f(x) на множестве D, если для любого х из D:F’(x)=f(x).

Если F(x) первообрзная ф-и f(x) на мн-ве D, то любую другую первообразную этой ф-и можно получить по формуле: Ф(х)=F(x)+c при некотором значение с.

Док-во. Пусть F(x) – первообразная f(x), x принадлежит D: F’(x)=f(x).

Пусть Ф(х) – другая первообразная f(x), x принадл. D: Ф’(x)=f(x).

Составим ф-ю φ(х)=Ф(х)-F(х) – дифференцируема на мн-ве D → φ'(х)= Ф’(х)-F’(х)=f(x)-f(x)=0. По св-м ф-и, дифференцируемой на D → φ(х)=соnst.=c → Ф(х)-F(х)=с=const → Ф(х)=F(х)+с, что и т.д.

Неопределенный интеграл

Опр. Совокупность всех первообразных для ф-и f(x) на множестве наз. Неопределенным интегралом этой функции. ∫f(x)dx=F(x)+c, f(x)-подинтегральная ф-я ,f(x)dx – подинтегральное выражение.

Свойства неопределенного интеграла

1)[f(x)dx]’=f(x)

док-во: ∫f(x)dx=F(x)+c(по опр.), (∫f(x)dx)’= (F(x)+c)’=F’(x)=f(x)

2) d[f(x)dx] = f(x)dx

док-во: по опр. дифференциала: d[f(x)dx] = (f(x)dx)’dx=f(x)dx

3)∫dF(x)=F(x) +c

док-во: ∫dF(x)=∫F’(x)dx=∫f(x)dx=F(x)+c.

4)Постоянный множитель можно выносить за знак неопред. Интеграла:

∫kf(x)dx=k∫f(x)dx ,x є D, k є R.

док-во: покажем, что k∫f(x)dx – совокупность первообразных для ф-и k*f(x):

По св-ву производной: (k∫f(x)dx)’=k*(∫f(x)dx)’=k*f(x).

5)∫[f(x)+(-)g(x)]dx = ∫f(x)dx +(-)∫g(x)dx/

Док-во: докажем, что ∫f(x)dx +(-)∫g(x)dx – первообразная для ф-и [f(x)+(-)g(x)]:

По св-ву производной: [f(x)+(-)g(x)]’= [∫f(x)dx]’ +(-)[∫g(x)dx]’= f(x)+(-)g(x), что и т.д.

Табличные интегралы.

Таблица интегралов

1) ∫ 0 dx = C = const 11) ∫dx/(√1-x² )= arcsin x + C = - arccos x + C

2) ∫dx = x + C 12) ∫dx/(1+x²) = arctg x + C = - arcctg x + C

3) ∫x^adx = x^a+1/(a+1) + C, 13) ∫tgxdx = - ln |cosx| + C

a≠ -1 14) ∫ctgxdx = ln |sinx| + C

4) ∫dx/x = ln|x| + C 15) ∫ dx/(√a²- x²)=arcsinx/a +C=-arccos x/a + C

5) ∫e^xdx = e^x + C 16) ∫dx/(a²+x²) = (1/a)arctg x/a + C=-(1/a)arcctg x/a + C

6) ∫a^xdx = a^x/lnx + C 17) ∫dx/(x²–a²) = (1/2a) ln |(x-a)/(x+a)| + C

7) ∫cosx dx = sinx + C 18) ∫dx/(a²-x²) = (1/2a) ln |(x+a)/(x-a)| + C

8) ∫sinxdx = - cosx + C 19) ∫dx/(√x²+A) = ln |x + (√x²+A)| + C

9) ∫dx/cos²x = tgx + C

20) ∫(√x²+A)dx = (x/2)(√x²+A) + (A/2) ln |x+(√x²+A)|+C

10) ∫dx/sin²x = - ctgx + C

21) ∫ (√a²- x²)dx = (a²/2) arcsin x/a + (x/2) (√a²- x²) + C

Метод замены переменной или метод подстановки

∫f(x)dx, x Î D

Пусть x = φ(t), t Î T, φ(t) – дифференцируема на T и имеет обратную функцию

Докажем, что ∫ f(x)dx = ∫f(φ(t)) • φ’(t)dt, т. е. докажем, что ∫f(x)dx – первообразная f(φ(t))•φ’(t)

(∫f(x)dx)_t’(по правилу дифференцирования сложной функции) = (∫f(x)dx)_x’ • x’_t = f(x)•φ’(t) = f(φ(t))•φ’(t)

∫ f(x)dx = ∫f(φ(t)) • φ’(t)dt – формула замены переменной в неопределенном интеграле

Метод интегрирования по частям

Пусть u = u(x), v = v(x) – дифференцируемы на D

d(u•v) = du•v + u•dv Þ ∫ d(u•v) = ∫du•v + ∫u•dv Þ u•v = ∫v•du + ∫u•dv Þ

∫u•dv = u•v - ∫v•du – формула интегрирования по частям

Применение данной формулы:

1. P_n (x)•φ(x)dx; P_n (x) – многочлен n-ой степени

а) φ(x) = sin ax u = P_n (x); dv = φ(x)dx

cos ax

e^Kx

b) φ(x) = обратные тригонометрические функции u = φ(x); dv = P_n (x)dx

log_ax

2. e^kx•sin ax dx в этом случае любой из множителей можно принять

e^kx•cos ax dx за u

11. Формула Ньютона-Лейбница:

Пусть функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a;b] и F(x)- первообразная для f(x). Тогда:

∫(a по b) f(x)dx= F(b)-F(a)

12. Формула замены переменной в определенном интеграле:

Пусть функция x=A(t) определена и дифференцируема на промежутке T и X – множество ее значений, на котором определена функция f(x). Тогда если F(x) – первообразная для f(x) на X, то F(A(t))- первообразная для f(A9t))A’(t) на T, т.е. на множестве Т выполняется равенство:

∫f(x)dx│x=A(t) = ∫f(A(t))A’(t)dt

13. Формула интегрирования по частям для определенного интеграла:

Пусть u(x) и v(x) – две дифференцируемые функции на промежутке X. Тогда на Х выполняется формула интегрирования по частям:

∫udv=uv-∫vdu

14. Определение несобственного интеграла с бесконечным верхним пределом:

Пусть функция y=f(x) интегрируема на каждом конечном отрезке [a;b] (b>a). Тогда за несобственный интеграл принимают:

∫(a по +∞)f(x)dx= lim b→∞ ∫(а по b)f(x)dx

,когда b стремится к бесконечности.

15. Определение несобственного интеграла с бесконечным нижним пределом:

По аналогии с верхним вопросом можно рассмотреть несобственный интеграл с бесконечным нижним пределом, а именно:

∫(b по -∞)f(x)dx= lim a→-∞ ∫(b по a)f(x)dx

16. Определение несобственного интеграла от неограниченной функции на ограниченном промежутке:

17. Пространство Rⁿ

18. Расстояние в Rⁿ. Свойства расстояния.

В пространстве Rⁿ, где n>3 , о расстоянии можно говорить лишь в условном смысле, так как точки в Rⁿ не имеют непосредственного геометрического истолкования. Расстояние определяется формулой:

ρ (p,q)= │p-q│=√(x1’- x1”)²+…+(xⁿ’-xⁿ”)²

, где p=(x1’, x2’, …, xⁿ’) и q=( x1”, x2”, …, xⁿ”) – две произвольные точки из Rⁿ.

Свойства:

1) ρ (p,q)>0, елси p ≠ q, и ρ (p,p)=0;

2) ρ (p,q)= ρ (q,p);

3) ρ (p,q)+ ρ (q,r)>= ρ (p,r), каковы бы ни были точки p,q и r. (свойство треугольника).

19. Окрестность точки в Rⁿ.

Пусть pₒ- точка в Rⁿ и ε – положительное число. Открытым шаром, или просто шаром радиуса ε с центром в pₒ называется множество всех точек, расстояние которых от pₒ меньше ε:

{p € Rⁿ │ ρ (pₒ,p)< ε}.

Шар радиуса ε с центром pₒ обозначается B(pₒ, ε) или U3(pₒ). Множество U3(pₒ) называют

ε–окрестностью точки pₒ.

20. Внутренние и граничные точки множества:

Пусть Х – множество в пространстве Rⁿ. Точка р называется:

-Внутренней точкой множества Х, если она содержится вместе с некоторой своей

ε–окрестностью;

-Внешней точкой по отношению к Х, если она является внутренней для дополнения Х в Rⁿ;

-Граничной точкой для Х, если она не является ни внутренней ни внешней точкой для Х, иначе говоря, если любая ее окрестность содержит как точки, принадлежащие Х, так и точки, не принадлежащие Х.

21. Открытые и замкнутые множества.

Множество X называется открытым, если все его точки внутренние.

Множество X называется закрытым, если оно содержит все свои граничные точки.

22. Изолированные и предельные точки множества.

Пусть X - множество в Rⁿ. Точка p0 называется предельной для X, если в любой

ε-окрестности точки p₀ имеются точки множества X, отличные от p₀.

При этом сама точка p₀ может как принадлежать, так и не принадлежать множеству X.

Точка p₀ Î X называется изолированной точкой множества X, если у нее существует

ε-окрестность, в которой никаких других точек из X, кроме p₀, нет.

Ясно, что любая точка множества Х является либо изолированной, либо предельной

для Х.

23. Ограниченные множества.

Множество X Rⁿ называется ограниченным, если оно целиком содержится в некотором шаре.

Нетрудно показать, что ограниченность множества Х означает, что существует такое число C>0, что координаты любой точки p=(x₁,x₂,…,x_n) из Х по модулю не превосходят С: |x₁| .

24. Сходимость последовательности точек в Rⁿ, ее эквивалентность покоординатной сходимости.

Пусть – последовательность точек в Rⁿ. Мы говорим, что эта последовательность сходится к точке p0, если числовая последовательность имеет предел 0.

Пусть p₁=(x₁,y₁), p₂=(x₂,y₂) ,…- последовательность точек в . Мы скажем, что эта последовательность сходится к точке p₀=(x₀,y₀), если числовая последовательность x₁,x₂,… сходится к числу x₀, а числовая последовательность y₁,y₂,… - к числу y₀.

25. Функция нескольких переменных.

?

26. Поверхности (линии) уровня функции нескольких переменных.

Линией уровня функции называют линию f(x,y)=C на координатной плоскости, в точках которой функция f принимает постоянное значение C.

При n>2 следует говорить не о линиях, а о множествах уровня. Множество уровня имеет уравнение f( и истолковывается как “ поверхность” в

27. Предел функции нескольких переменных.

Пусть на множестве X Rⁿ задана функция f(p) и пусть p₀ – предельная точка для Х. Число a называется пределом функции f в точке p₀, если для любой сходящейся к p₀ последовательности , где все p_n p₀, соответствующая числовая последовательность сходится к числу а.

Запись: , или в координатной форме:

28. Непрерывность функции нескольких переменных.

Функция f(p), определенная на множестве X Rⁿ, называется непрерывной

в точке р₀ Î X, если , или же, если p₀ – изолированная точка множества Х.

Функция f(p), определенная на множестве X Rⁿ, называется непрерывной на этом множестве, если она непрерывна в каждой точке множества Х.

29. Свойства функций, непрерывных на замкнутом ограниченном множестве: ограниченность, достижение наибольшего и наименьшего значений.

Если числовая функция f от n переменных задана на ограниченном и замкнутом множестве Х Rⁿ, то она ограничена на этом множестве.

Если числовая функция f от n переменных задана на ограниченном и замкнутом множестве Х Rⁿ, то существует точка p₀ Î X, в которой f принимает свое наименьшее значение, и точка q₀ Î X, в которой f принимает свое наибольшее значение на Х.

30. Частные производные функции нескольких переменных.

Частной производной функции нескольких переменных по одной из этих переменных называется предел отношения частного приращения функции к приращению соответствующей независимой переменной, когда это приращение стремится к нулю.

Частные производные функции z=f(x,y) в точке (x₀,y₀) обозначаются так:

z’x , dz/dx , f’x(x₀,y₀) – производная по x;

z’y, dz/dy, f’y(x₀,y₀) – производная по y.

31. Пусть D из Rⁿ – область в Rⁿ, содержащая с каждой своей точкой (x₁, x₂, …., x_n) и все точки вида (tx₁, tx₂, …., tx_n) при t>0 функция f(x₁, x₂, …., x_n) с такой областью определения D называется однородной степени λ, если для любого t>0 выполнятся равенство f (tx₁, tx₂, …., tx_n)=t^λ f(x₁, x₂, …., x_n).

Да, является. 2 степени. =t²

32.Пример однородной функции степени 3:

F (x,y)=x²

F (tx, ty)=t²x²√(tx*ty)=t³ F (x,y)

33. f (tx₁, tx₂,tx₃)=t^λ f(x₁, x₂, x₃). u= f(x,y,z)

34.Пусть z=f(x;y) определена в некоторой области D и точка М(х₀;у₀) – внутренняя точка D (М принадлежит D), тогда данная функция в данной точке будет иметь локальный минимум (максимум), если найдется e - окрестность точки М, что для всех внутренних точек этой окрестности, отличных от М(х₀;у₀) выполняются неравенства:

f(x;y)>f(х₀;у₀) – min

f(x;y)<f(х₀;у₀) – max