Нормальный закон распределения

Определение.Нормальнымназывается распределение вероятностей непрерывной случайной величины, которое описывается плотностью вероятности

Нормальный закон распределения - student2.ru ,

где Нормальный закон распределения - student2.ru , Нормальный закон распределения - student2.ru

Нормальный закон распределения также называется законом Гаусса.

Нормальный закон распределения занимает центральное место в теории вероятностей. Это обусловлено тем, что этот закон проявляется во всех случаях, когда случайная величина является результатом действия большого числа различных факторов. К нормальному закону приближаются все остальные законы распределения.

Можно легко показать, что параметры Нормальный закон распределения - student2.ru и Нормальный закон распределения - student2.ru , входящие в плотность распределения являются соответственно математическим ожиданием и средним квадратическим отклонением случайной величины Нормальный закон распределения - student2.ru .

Найдем функцию распределения Нормальный закон распределения - student2.ru .

Нормальный закон распределения - student2.ru ,

где Нормальный закон распределения - student2.ru , Нормальный закон распределения - student2.ru

График плотности нормального распределения называется нормальной кривой или кривой Гаусса.

Нормальная кривая обладает следующими свойствами:

1. Функция определена на всей числовой оси.

2. При всех х функция распределения принимает только положительные значения.

3. Ось Нормальный закон распределения - student2.ru является горизонтальной асимптотой графика плотности вероятности, так как при неограниченном возрастании по абсолютной величине аргумента х, значение функции стремится к нулю.

4. Найдем экстремум функции.

Нормальный закон распределения - student2.ru

Так как при y’ > 0 при x <а и y’ < 0 при x > а , то в точке х = а функция имеет максимум, равный Нормальный закон распределения - student2.ru .

5. Функция является симметричной относительно прямой х = а, так как разность (х – а) входит в функцию плотности распределения в квадрате.

6. Для нахождения точек перегиба графика найдем вторую производную функции плотности.

Нормальный закон распределения - student2.ru

При x = а+ s и x = а - s вторая производная равна нулю, а при переходе через эти точки меняет знак, то есть в этих точках функция имеет перегиб.

В этих точках значение функции равно Нормальный закон распределения - student2.ru .

Построим график функции плотности распределения.

Нормальный закон распределения - student2.ru

Графики Нормальный закон распределения - student2.ru при различных значениях Нормальный закон распределения - student2.ru и Нормальный закон распределения - student2.ru имеют вид:

Нормальный закон распределения - student2.ru Нормальный закон распределения - student2.ru

Нормальный закон распределения - student2.ru Нормальный закон распределения - student2.ru Нормальный закон распределения - student2.ru

Параметр Нормальный закон распределения - student2.ru характеризует положение кривой, а параметр Нормальный закон распределения - student2.ru - форму кривой нормального распределения.

При Нормальный закон распределения - student2.ru Нормальный закон распределения - student2.ru распределение называется стандартным нормальным, а график называется нормированной кривой.

Нормальный закон распределения - student2.ru Нормальный закон распределения - student2.ru

Нормальный закон распределения - student2.ru .

Если случайная величина распределена по нормальному закону, то

Нормальный закон распределения - student2.ru

Вероятность того, что отклонение нормально распределенной случайной величины Нормальный закон распределения - student2.ru от математического ожидания по модулю меньше заданного числа Нормальный закон распределения - student2.ru равна Нормальный закон распределения - student2.ru .

Правило трех Нормальный закон распределения - student2.ru

Если случайная величина распределена по нормальному закону, то модуль ее отклонения от математического ожидания не превосходит утроенного среднего квадратического отклонения.

Нормальный закон распределения - student2.ru .

На практике это правило используют так: если распределение случайной величины Нормальный закон распределения - student2.ru не известно, но правило трех Нормальный закон распределения - student2.ru выполняется, то есть основание предполагать, что случайная величина Нормальный закон распределения - student2.ru распределена нормально.

Нормальному закону распределения подчиняются ошибки измерений, величины износа деталей в механизмах, рост человека, колебание курса акций и т.д.

Пример 27.Случайна величина Нормальный закон распределения - student2.ru распределена по нормальному закону Нормальный закон распределения - student2.ru , а вероятность ее попадания в интервал Нормальный закон распределения - student2.ru равна 0,8. Найти вероятность попадания в интервал Нормальный закон распределения - student2.ru .

¦ Нормальный закон распределения - student2.ru

Нормальный закон распределения - student2.ru ; Нормальный закон распределения - student2.ru ; Нормальный закон распределения - student2.ru

Нормальный закон распределения - student2.ru l

Наши рекомендации