Разложение многочлена на множители в случае комплексных корней

Среди корней многочлена могут быть и комплексные.

Теорема 1:Если a=а+ib корень многочлена (r-кратный) с вещественными коэффициентами, то сопряженное комплексное число`a=а-ib, также корень многочлена (r-кратный).

Перемножив два множителя (с сопряжёнными комплексными корнями) получаем:

Таким образом, произведение множителей, соответствующих сопряжённым комплексным корням, можно представить в виде квадратного трёхчлена с вещественными коэффициентами.

Теорема 2: Каждый многочлен с действительными коэффициентами Q(x) может быть представлен в виде произведения множителей с действительными коэффициентами первой и второй степеней соответствующей кратности:

Q(x)=A₀(x-а₁)^k1(x-а₂)^k2…(x-а_r)^kr(x²+p₁x+q₁)^l1… (x²+p_sx+q_s)^ls,

где k₁+k₂+…+k_r+2l₁+2l₂+…+2l_s=n.

Лекция 5

Разложение рациональной функции на элементарные дроби

Полярная система координат

Понятие функции

Способы задания функции

Классификация функций

Разложение рациональной функции на элементарные дроби.

Теорема 1:Если рациональная функция имеет степень многочлена в числителе меньше степени многочлена в знаменателе, а многочлен Q(x) представим в виде:

Q(x)=А(x-a)^r(x-b)^s…(x²+px+q)^t(x²+ux+v)^l,

то эту функцию можно представить единственным образом в виде:

Данное разложение называется разложением рациональной функции на элементарные дроби.

Метод неопределённых коэффициентов: Умножим обе части разложения на Q(x) и приравняем коэффициенты, стоящие при равных степенях. Решим систему уравнений первой степени.

Теорема 2:Если рациональная функция имеет степень многочлена в числителе не меньше степени многочлена в знаменателе, то выполнив деление получим:

,

где W(x) — некоторый многочлен, а R(x) — многочлен степени меньше, чем Q(x).

Полярная система координат.

Определение 1: Полярная система координат состоит из некоторой точки О - полюса, и исходящего из неё луча ОМ - полярной оси и задаётся единица масштаба для изме­рения длин отрезков.

Определение 2: Полярными координатами точки М называются числа r и j. При этом число r - полярный радиус, число j - полярный угол. М(r; j), где 0£r<+¥; и обычно 0£j£2p.

Установим связь между полярными координатами точки и ее прямоугольными координатами. Будем предполагать, что точка (0; 0) находится в полюсе, а положительная полуось абсцисс совпадает с полярной осью.

Пусть точка М имеет прямоугольные координаты х и у и полярные координаты r и j

(М(х; у)«М(r; j)), тогда

· -выражение прямоугольных координат через полярные;

· - выражение полярных координат через прямоугольные.

Понятие функции.

Пусть X и Y—некоторые числовые множества.

Определение 1: Функцией f называется множество упорядоченных пар чисел (х; у) таких, что хÎХ, yÎY и каждое х входит в одну и только одну пару этого множества, а каждое у входит по крайней мере в одну пару. При этом говорят, что числу х поставлено в соответствие число у и пишут y=f(x).

Определение 2: Число у называет­ся значением функции f в точке х.

Определение 3: Переменную y называют зависимой переменной (или функцией), а переменную х - независимой переменной (или аргументом).

Определение 4: Мно­жество X - область определения (или существова­ния) функции, а множество Y - область значе­ний функции.

Определение 5: Функция, все значения которой равны между собой, называется постоянной. Постоянная функция часто обозначается буквой С (f(x)=C).

На плоскости функцию изображают в виде графика – множеств точек (x; у), координаты которых связаны соотношением у=f(х), называемым уравнением графика.