Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Лекция 3. Прямая на плоскости

Содержание

1. Различные уравнения прямой линии на плоскости

1.1.Общее уравнение прямой

1.2. Уравнение прямой с угловым коэффициентом

1.3. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки

2. Угол между прямыми

3. Расстояние от точки до прямой

Различные виды уравнений прямой на плоскости

Уравнением линии на плоскости называется уравнение Уравнение прямой с угловым коэффициентом - student2.ruс двумя переменными Уравнение прямой с угловым коэффициентом - student2.ru и Уравнение прямой с угловым коэффициентом - student2.ru , которому удовлетворяют координаты любой точки Уравнение прямой с угловым коэффициентом - student2.ru , лежащей на линии.

Входящие в уравнение координаты Уравнение прямой с угловым коэффициентом - student2.ru и Уравнение прямой с угловым коэффициентом - student2.ru произвольной точки линии называются текущими координатами. Координаты точки, не лежащей на линии, не удовлетворяют данному уравнению.

Пример 1. Лежит ли точка Уравнение прямой с угловым коэффициентом - student2.ru на линии, заданной уравнением Уравнение прямой с угловым коэффициентом - student2.ru ?

Решение. Подставим координаты точки Уравнение прямой с угловым коэффициентом - student2.ru в уравнение линии: Уравнение прямой с угловым коэффициентом - student2.ru . Так как Уравнение прямой с угловым коэффициентом - student2.ru , то точка не лежит на линии.

Теорема. В декартовой системе координат Уравнение прямой с угловым коэффициентом - student2.ru на плоскости всякое уравнение первой степени относительно Уравнение прямой с угловым коэффициентом - student2.ru и Уравнение прямой с угловым коэффициентом - student2.ru определяет прямую линию. Обратно: прямая на плоскости может быть задана уравнением первой степени относительно Уравнение прямой с угловым коэффициентом - student2.ru и Уравнение прямой с угловым коэффициентом - student2.ru .

Одна и та же прямая линия может быть описана несколькими видами линейных уравнений с двумя переменными.

Общее уравнение прямой

Если известен ненулевой вектор Уравнение прямой с угловым коэффициентом - student2.ru , перпендикулярный прямой Уравнение прямой с угловым коэффициентом - student2.ru , то уравнение вида Уравнение прямой с угловым коэффициентом - student2.ru называется общим уравнением прямой Уравнение прямой с угловым коэффициентом - student2.ru .

Уравнение прямой с угловым коэффициентом - student2.ru Уравнение прямой с угловым коэффициентом - student2.ru Уравнение прямой с угловым коэффициентом - student2.ru

Уравнение прямой с угловым коэффициентом - student2.ru

Уравнение прямой с угловым коэффициентом - student2.ru

Здесь А, В, С – действительные числа, причем А и В одновременно не равны нулю. Коэффициенты Уравнение прямой с угловым коэффициентом - student2.ru , Уравнение прямой с угловым коэффициентом - student2.ru при переменных Уравнение прямой с угловым коэффициентом - student2.ru и Уравнение прямой с угловым коэффициентом - student2.ru в общем уравнении прямой Уравнение прямой с угловым коэффициентом - student2.ru являются координатами вектора Уравнение прямой с угловым коэффициентом - student2.ru , перпендикулярного прямой, который называется нормальным вектором прямой.

Пример 2. Составить уравнение прямой, проходящей через точку Уравнение прямой с угловым коэффициентом - student2.ru перпендикулярно вектору Уравнение прямой с угловым коэффициентом - student2.ru .

Решение. Здесь А=2, В=5, поэтому уравнение запишется так: Уравнение прямой с угловым коэффициентом - student2.ru . Подставим в уравнение Уравнение прямой с угловым коэффициентом - student2.ru , Уравнение прямой с угловым коэффициентом - student2.ru , получим Уравнение прямой с угловым коэффициентом - student2.ru . Отсюда Уравнение прямой с угловым коэффициентом - student2.ru . Уравнение прямой: Уравнение прямой с угловым коэффициентом - student2.ru .

Для построения прямой нужно знать две ее точки. Подставим в уравнение прямой значение Уравнение прямой с угловым коэффициентом - student2.ru : Уравнение прямой с угловым коэффициентом - student2.ru , то есть Уравнение прямой с угловым коэффициентом - student2.ru . Точка Уравнение прямой с угловым коэффициентом - student2.ru принадлежит этой прямой. Подставим в уравнение прямой значение Уравнение прямой с угловым коэффициентом - student2.ru : Уравнение прямой с угловым коэффициентом - student2.ru . Отсюда Уравнение прямой с угловым коэффициентом - student2.ru . Точка Уравнение прямой с угловым коэффициентом - student2.ru принадлежит прямой.

Отметим точки Уравнение прямой с угловым коэффициентом - student2.ru и Уравнение прямой с угловым коэффициентом - student2.ru на координатной плоскости и проведем через них прямую.

Уравнение прямой с угловым коэффициентом - student2.ru Уравнение прямой с угловым коэффициентом - student2.ru Уравнение прямой с угловым коэффициентом - student2.ru Уравнение прямой с угловым коэффициентом - student2.ru

Уравнение прямой с угловым коэффициентом - student2.ru

Уравнение прямой с угловым коэффициентом - student2.ru Прямая Уравнение прямой с угловым коэффициентом - student2.ru

Уравнение прямой с угловым коэффициентом - student2.ru

Уравнение Уравнение прямой с угловым коэффициентом - student2.ru задает прямую, проходящую через начало координат.

Уравнения Уравнение прямой с угловым коэффициентом - student2.ru и Уравнение прямой с угловым коэффициентом - student2.ru - это уравнения осей координат.

Уравнения Уравнение прямой с угловым коэффициентом - student2.ru и Уравнение прямой с угловым коэффициентом - student2.ru задают прямые, параллельные осям координат Уравнение прямой с угловым коэффициентом - student2.ru и Уравнение прямой с угловым коэффициентом - student2.ru соответственно.

Прямая Уравнение прямой с угловым коэффициентом - student2.ru делит плоскость на две полуплоскости. В одной из них выполнено условие Уравнение прямой с угловым коэффициентом - student2.ru , в другой – условие Уравнение прямой с угловым коэффициентом - student2.ru .

Уравнение прямой с угловым коэффициентом

· Углом Уравнение прямой с угловым коэффициентом - student2.ru наклона прямой к положительному направлению оси ОХ называется угол Уравнение прямой с угловым коэффициентом - student2.ru , на который надо повернуть ось ОХ против часовой стрелки до совпадения с прямой.

Введем обозначения: Уравнение прямой с угловым коэффициентом - student2.ru , отрезок Уравнение прямой с угловым коэффициентом - student2.ru .

· Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Уравнение прямой с угловым коэффициентом - student2.ru .

Уравнение прямой с угловым коэффициентом - student2.ru Уравнение прямой с угловым коэффициентом - student2.ru

Уравнение прямой с угловым коэффициентом - student2.ru

Уравнение прямой с угловым коэффициентом - student2.ru

Уравнение прямой с угловым коэффициентом - student2.ru Уравнение прямой с угловым коэффициентом - student2.ru

Угловой коэффициент Уравнение прямой с угловым коэффициентом - student2.ru равен тангенсу угла наклона прямой к оси ОХ: Уравнение прямой с угловым коэффициентом - student2.ru .

Для прямой, параллельной оси абсцисс, угловой коэффициент Уравнение прямой с угловым коэффициентом - student2.ru и уравнение прямой Уравнение прямой с угловым коэффициентом - student2.ru .

Для прямой, проходящей через начало координат, Уравнение прямой с угловым коэффициентом - student2.ru и ее уравнение Уравнение прямой с угловым коэффициентом - student2.ru .

Наши рекомендации