Уравнение прямой с угловым коэффициентом.

Зафиксируем на плоскости декартову прямоугольную систему координат с началом координат в точке Уравнение прямой с угловым коэффициентом. - student2.ru и осями координат Уравнение прямой с угловым коэффициентом. - student2.ru и Уравнение прямой с угловым коэффициентом. - student2.ru . Построим на плоскости некоторую прямую Уравнение прямой с угловым коэффициентом. - student2.ru и выясним, как связаны между собой координаты Уравнение прямой с угловым коэффициентом. - student2.ru и Уравнение прямой с угловым коэффициентом. - student2.ru ее точек. Составим уравнение этой прямой, то есть уравнение, которому будут удовлетворять координаты всех точек этой прямой и не будут удовлетворять координаты ни одной точки, не принадлежащей ей.

Положение прямой Уравнение прямой с угловым коэффициентом. - student2.ru на плоскости с выбранной системой координат можно определить различными способами. Соответственно этому выбору уравнение прямой будет иметь в каждом случае свой вид.

Уравнение прямой с угловым коэффициентом. - student2.ru

Определение. Углом наклона Уравнение прямой с угловым коэффициентом. - student2.ru прямой называется направленный угол Уравнение прямой с угловым коэффициентом. - student2.ru , на который нужно повернуть ось Уравнение прямой с угловым коэффициентом. - student2.ru , чтобы её положительное направление совпало с одним из направлений этой прямой.

Угол наклона прямой Уравнение прямой с угловым коэффициентом. - student2.ru может принимать различные значения, отличающиеся друг от друга на величину Уравнение прямой с угловым коэффициентом. - student2.ru , где Уравнение прямой с угловым коэффициентом. - student2.ru . Поэтому в качестве направленного угла наклона берут наименьшее положительное значение угла Уравнение прямой с угловым коэффициентом. - student2.ru . А если прямая параллельна оси Уравнение прямой с угловым коэффициентом. - student2.ru , то считают Уравнение прямой с угловым коэффициентом. - student2.ru

Таким образом, Уравнение прямой с угловым коэффициентом. - student2.ru .

Отметим, что для заданной прямой все значения её угла наклона имеют один и тот же тангенс, т.к. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. - student2.ru , где Уравнение прямой с угловым коэффициентом. - student2.ru

Определение. Тангенс угла наклона прямой называется её угловым коэффициентом.

Обозначим его следующим образом: Уравнение прямой с угловым коэффициентом. - student2.ru . (1)

В частности, если угол Уравнение прямой с угловым коэффициентом. - student2.ru то есть прямая Уравнение прямой с угловым коэффициентом. - student2.ru параллельна оси Уравнение прямой с угловым коэффициентом. - student2.ru , то Уравнение прямой с угловым коэффициентом. - student2.ru ; а если угол Уравнение прямой с угловым коэффициентом. - student2.ru , то Уравнение прямой с угловым коэффициентом. - student2.ru не существует, и, так как

Уравнение прямой с угловым коэффициентом. - student2.ru , в этом случае прямая параллельна оси ОУ и углового коэффициента не имеет.

Если прямая Уравнение прямой с угловым коэффициентом. - student2.ru не параллельна оси Уравнение прямой с угловым коэффициентом. - student2.ru , то она пересекает эту ось в некоторой точке Уравнение прямой с угловым коэффициентом. - student2.ru , отсекая на оси отрезок Уравнение прямой с угловым коэффициентом. - student2.ru , длину которого обозначим через Уравнение прямой с угловым коэффициентом. - student2.ru . Введем понятие направленного отрезка, а именно, будем считать, что Уравнение прямой с угловым коэффициентом. - student2.ru , если точка Уравнение прямой с угловым коэффициентом. - student2.ru лежит выше оси Уравнение прямой с угловым коэффициентом. - student2.ru , и Уравнение прямой с угловым коэффициентом. - student2.ru в противном случае.

Уравнение прямой с угловым коэффициентом. - student2.ru

Положение прямой на плоскости определяется однозначно, если заданы величины Уравнение прямой с угловым коэффициентом. - student2.ru и Уравнение прямой с угловым коэффициентом. - student2.ru . (см. рис. 1,2,3,4)

При любом расположении прямой Уравнение прямой с угловым коэффициентом. - student2.ru , не параллельной оси Уравнение прямой с угловым коэффициентом. - student2.ru , отсекающей на оси Уравнение прямой с угловым коэффициентом. - student2.ru направленный отрезок величины Уравнение прямой с угловым коэффициентом. - student2.ru и имеющей угловой коэффициент Уравнение прямой с угловым коэффициентом. - student2.ru , координаты ее точек удовлетворяют уравнению

Уравнение прямой с угловым коэффициентом. - student2.ru (2)

Если же прямая Уравнение прямой с угловым коэффициентом. - student2.ru параллельна оси Уравнение прямой с угловым коэффициентом. - student2.ru , то все ее точки таковы, что для их координат выполняется условие, которое и является уравнением этой прямой:

Уравнение прямой с угловым коэффициентом. - student2.ru , (3)

где Уравнение прямой с угловым коэффициентом. - student2.ru - величина отрезка, отсекаемого прямой на оси Уравнение прямой с угловым коэффициентом. - student2.ru .

Уравнение вида Уравнение прямой с угловым коэффициентом. - student2.ru (2) называется уравнением прямой с угловым коэффициентом.

Пример 1. В прямоугольной системе координат построим прямую, заданную уравнением Уравнение прямой с угловым коэффициентом. - student2.ru .

Решение. Сравним данное уравнение с уравнением прямой вида (2). Угловой коэффициент прямой, уравнение которой дано в условии, Уравнение прямой с угловым коэффициентом. - student2.ru . Отрезок, отсекаемый ею от оси ОУ, имеет величину Уравнение прямой с угловым коэффициентом. - student2.ru , т.е. этой прямой принадлежит точка Уравнение прямой с угловым коэффициентом. - student2.ru . (см. рис.1)

Так как Уравнение прямой с угловым коэффициентом. - student2.ru (см.(1)), а тангенс острого угла Уравнение прямой с угловым коэффициентом. - student2.ru в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к прилежащему, можно определить положение прямой, построив прямоугольный треугольник Уравнение прямой с угловым коэффициентом. - student2.ru с катетами Уравнение прямой с угловым коэффициентом. - student2.ru , параллельным оси Уравнение прямой с угловым коэффициентом. - student2.ru , и Уравнение прямой с угловым коэффициентом. - student2.ru , параллельным оси Уравнение прямой с угловым коэффициентом. - student2.ru , такими, что их длины Уравнение прямой с угловым коэффициентом. - student2.ru и Уравнение прямой с угловым коэффициентом. - student2.ru . (см.рис. 5)

Уравнение прямой с угловым коэффициентом. - student2.ru

Тогда Уравнение прямой с угловым коэффициентом. - student2.ru , т.е. угол при вершине Уравнение прямой с угловым коэффициентом. - student2.ru является углом наклона Уравнение прямой с угловым коэффициентом. - student2.ru заданной прямой. Отрезок Уравнение прямой с угловым коэффициентом. - student2.ru принадлежит заданной прямой. Продолжив его, строим саму прямую.

Пример 2. Составим уравнение прямой, пересекающей ось Уравнение прямой с угловым коэффициентом. - student2.ru в точке Уравнение прямой с угловым коэффициентом. - student2.ru и проходящей через точку Уравнение прямой с угловым коэффициентом. - student2.ru .

Решение. Построим в системе Уравнение прямой с угловым коэффициентом. - student2.ru прямую, проходящую через заданные в условии точки, и выясним, чему равны ее угловой коэффициент Уравнение прямой с угловым коэффициентом. - student2.ru и величина Уравнение прямой с угловым коэффициентом. - student2.ru . По этим двум параметрам составим искомое уравнение, взяв за исходное уравнение Уравнение прямой с угловым коэффициентом. - student2.ru (2). (см. рис.6)

Уравнение прямой с угловым коэффициентом. - student2.ru

Из рис.6 следует, что величина Уравнение прямой с угловым коэффициентом. - student2.ru и угол наклона прямой Уравнение прямой с угловым коэффициентом. - student2.ru . Сравните с рис.4. Очевидно, что координаты точки Уравнение прямой с угловым коэффициентом. - student2.ru . Острый угол Уравнение прямой с угловым коэффициентом. - student2.ru в треугольнике Уравнение прямой с угловым коэффициентом. - student2.ru имеет тангенс Уравнение прямой с угловым коэффициентом. - student2.ru . Тогда угловой коэффициент данной прямой Уравнение прямой с угловым коэффициентом. - student2.ru . (см.(1)).

Подставляем найденные Уравнение прямой с угловым коэффициентом. - student2.ru в уравнение (2) и получаем Уравнение прямой с угловым коэффициентом. - student2.ru .

Ответ: Уравнение прямой с угловым коэффициентом. - student2.ru

Общее уравнение прямой.

Отметим, что уравнения прямой вида (2) и (3), рассмотренные ранее, являются линейными. Имеет место следующая теорема.

Теорема. Множество точек Уравнение прямой с угловым коэффициентом. - student2.ru плоскости принадлежит прямой Уравнение прямой с угловым коэффициентом. - student2.ru тогда и только тогда, когда их координаты удовлетворяют линейному уравнению, а именно, уравнению вида

Уравнение прямой с угловым коэффициентом. - student2.ru , где Уравнение прямой с угловым коэффициентом. - student2.ru (4) то есть Уравнение прямой с угловым коэффициентом. - student2.ru и Уравнение прямой с угловым коэффициентом. - student2.ru одновременно не равны нулю.

Уравнение вида (4) называется общим уравнением прямой на плоскости.

Все рассмотренные уравнения прямой связаны между собой. Так, например, при Уравнение прямой с угловым коэффициентом. - student2.ru и Уравнение прямой с угловым коэффициентом. - student2.ru уравнение (4) приводится к уравнению с угловым коэффициентом вида (2): Уравнение прямой с угловым коэффициентом. - student2.ru , где Уравнение прямой с угловым коэффициентом. - student2.ru .

При Уравнение прямой с угловым коэффициентом. - student2.ru , Уравнение прямой с угловым коэффициентом. - student2.ru равнение (4) после преобразования приводится к уравнению вида Уравнение прямой с угловым коэффициентом. - student2.ru с угловым коэффициентом Уравнение прямой с угловым коэффициентом. - student2.ru .

При Уравнение прямой с угловым коэффициентом. - student2.ru , Уравнение прямой с угловым коэффициентом. - student2.ru получаем из (4) уравнение Уравнение прямой с угловым коэффициентом. - student2.ru что соответствует уравнению вида (3).

Обратно, если уравнение с угловым коэффициентом вида (2) переписать в виде Уравнение прямой с угловым коэффициентом. - student2.ru , то оно будет соответствовать общему уравнению вида (4).

Пример 3. Выясним, под каким углом прямая Уравнение прямой с угловым коэффициентом. - student2.ru пересекает ось Уравнение прямой с угловым коэффициентом. - student2.ru , и найдем точки ее пересечения с осями координат.

Решение. Приведем уравнение заданной прямой к виду (2), то есть запишем её уравнение с угловым коэффициентом. Выразив Уравнение прямой с угловым коэффициентом. - student2.ru из исходного уравнения этой прямой, получим уравнение Уравнение прямой с угловым коэффициентом. - student2.ru .

Отсюда следует, что Уравнение прямой с угловым коэффициентом. - student2.ru и Уравнение прямой с угловым коэффициентом. - student2.ru . Следовательно, искомый угол Уравнение прямой с угловым коэффициентом. - student2.ru таков, что Уравнение прямой с угловым коэффициентом. - student2.ru (см.(1)), т. е. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. - student2.ru - угол, под которым данная прямая пересекает ось Уравнение прямой с угловым коэффициентом. - student2.ru .

Ось Уравнение прямой с угловым коэффициентом. - student2.ru пересекается прямой в точке Уравнение прямой с угловым коэффициентом. - student2.ru с ординатой Уравнение прямой с угловым коэффициентом. - student2.ru Уравнение прямой с угловым коэффициентом. - student2.ru , т. е. в точке Уравнение прямой с угловым коэффициентом. - student2.ru . (см. рис.2)

Чтобы найти точку Уравнение прямой с угловым коэффициентом. - student2.ru , в которой прямая пересекает ось Уравнение прямой с угловым коэффициентом. - student2.ru , учтем, что в этой точке координата Уравнение прямой с угловым коэффициентом. - student2.ru , и подставив в уравнение заданной прямой

Уравнение прямой с угловым коэффициентом. - student2.ru , получим Уравнение прямой с угловым коэффициентом. - student2.ru . Т.е. координаты точки Уравнение прямой с угловым коэффициентом. - student2.ru .

Ответ. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. - student2.ru Уравнение прямой с угловым коэффициентом. - student2.ru

Наши рекомендации