Уравнение прямой с угловым коэффициентом.

Лекция 6 Прямая на плоскости.

Общее уравнение прямой.

Положение прямой l на плоскости вполне определено, если известны точка Уравнение прямой с угловым коэффициентом. - student2.ru , через которую она проходит, и ненулевой вектор Уравнение прямой с угловым коэффициентом. - student2.ru , перпендикулярный к этой прямой (рис. 6.1).

Уравнение прямой с угловым коэффициентом. - student2.ru

Рис 6.1

Вектор Уравнение прямой с угловым коэффициентом. - student2.ru называется нормальным вектором прямой.

Пусть M(x;y) – произвольная точка прямой l. Тогда вектор Уравнение прямой с угловым коэффициентом. - student2.ru перпендикулярен к вектору Уравнение прямой с угловым коэффициентом. - student2.ru , т.е. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. - student2.ru или

Уравнение прямой с угловым коэффициентом. - student2.ru . (6.1)

Соотношению (6.1) удовлетворяют координаты тех и только тех точек плоскости XOY, которые принадлежат прямой l. Следовательно, оно и является искомым уравнением этой прямой и называется уравнением прямой с нормальным вектором Уравнение прямой с угловым коэффициентом. - student2.ruипроходящей через данную точку M0(x0;y0). Раскрыв скобки в уравнении (6.1), получим: Уравнение прямой с угловым коэффициентом. - student2.ru , где Уравнение прямой с угловым коэффициентом. - student2.ru . (6.2)

Уравнение (6.2) называется общим уравнением прямой.

Замечание. Общее уравнение (6.2) называется полным, если все его коэффициенты A,B,C отличны от нуля. Если же хотя бы один из них равен нулю, то уравнение называется неполным. Рассмотрим возможные случаи неполных уравнений:

1) C=0; уравнение имеет вид Уравнение прямой с угловым коэффициентом. - student2.ru и определяет прямую, проходящую через начало координат;

2) B=0 (A≠0); уравнение имеет вид Уравнение прямой с угловым коэффициентом. - student2.ru и определяет прямую, параллельную оси Oy. В частности, уравнение x=0 определяет ось ординат;

3) A=0 (B≠0); уравнение имеет вид Уравнение прямой с угловым коэффициентом. - student2.ru и определяет прямую, параллельную оси Ox. В частности, уравнение y=0 определяет ось абсцисс.

Уравнение прямой в «отрезках».

Рассмотрим общее уравнение прямой Уравнение прямой с угловым коэффициентом. - student2.ru при условии, что ни один из коэффициентов A,B,C не равен нулю. Преобразуем его к виду: Уравнение прямой с угловым коэффициентом. - student2.ru .

Вводя обозначения Уравнение прямой с угловым коэффициентом. - student2.ru Уравнение прямой с угловым коэффициентом. - student2.ru , Уравнение прямой с угловым коэффициентом. - student2.ru , получаем: Уравнение прямой с угловым коэффициентом. - student2.ru . (6.3)

Уравнение (6.3) называют уравнением прямой «в отрезках». Числа a и b являются величинами отрезков, которые прямая отсекает на осях координат.

Уравнение прямой с угловым коэффициентом.

Рассмотрим прямую, не перпендикулярную оси Ox. Назовем углом наклона данной прямой к оси Ox угол Уравнение прямой с угловым коэффициентом. - student2.ru , на который нужно повернуть ось Ox против часовой стрелки, чтобы положительное направление совпадало с одним из направлений прямой.

Тангенс угла наклона прямой к оси Уравнение прямой с угловым коэффициентом. - student2.ru называют угловым коэффициентом этой прямой и обозначают буквой k:

Уравнение прямой с угловым коэффициентом. - student2.ru . (6.4)

Выведем уравнение прямой, если известны ее угловой коэффициент и величина отрезка OB, которую она отсекает на оси Oy (рис. 6.2).

Уравнение прямой с угловым коэффициентом. - student2.ru

Рис. 6.2.

Пусть M ­– произвольная точка прямой с координатами x и y. Если провести прямые BN и NM, параллельные осям, то образуется прямоугольный треугольник BNM. Точка M лежит на прямой с искомым уравнением тогда и только тогда, когда величины BN и NM удовлетворяют условию Уравнение прямой с угловым коэффициентом. - student2.ru .

Так как Уравнение прямой с угловым коэффициентом. - student2.ru , то, с учетом формулы (6.4), получаем, что точка M лежит на данной прямой тогда и только тогда, когда ее координаты удовлетворяют условию Уравнение прямой с угловым коэффициентом. - student2.ru , которое после преобразования примет вид: Уравнение прямой с угловым коэффициентом. - student2.ru . (6.5)

Уравнение (6.5) называется уравнением прямой с угловым коэффициентом.

Наши рекомендации