Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Уравнение прямой с угловым коэффициентом - student2.ru Определение. Тангенс угла наклона прямой к оси OX называется угловым коэффициентом прямой и обозначают Уравнение прямой с угловым коэффициентом - student2.ru . y=kx+b

Уравнение прямой, проходящей через две точки

Уравнение прямой с угловым коэффициентом - student2.ru Уравнение прямой с угловым коэффициентом - student2.ru – каноническое уравнение прямой на плоскости.

Уравнение прямой в отрезках (рис 4.3)

Уравнение прямой с угловым коэффициентом - student2.ru

Общее уравнение прямой на плоскости

Рассмотрим общее уравнение первой степени относительно x и y:

Ax+By+C=0 (4.10), где A, B, C – произвольные числа.

Уравнение (4.10) называется общим уравнением прямой.

10.Уравнения плоскости: в векторной, координатной формах.

Уравнение прямой с угловым коэффициентом - student2.ru Рассмотрим на плоскости произвольную точку M(x,y, z). Тогда (ри сунок 4.12) Уравнение прямой с угловым коэффициентом - student2.ru . Так как вектор Уравнение прямой с угловым коэффициентом - student2.ru перпендикулярен плоскости, то Уравнение прямой с угловым коэффициентом - student2.ru . Следовательно, Уравнение прямой с угловым коэффициентом - student2.ru (4.45)

Уравнение (4.45) есть векторное уравнение плоскости, проходящей через точку M0.

Но Уравнение прямой с угловым коэффициентом - student2.ru , а Уравнение прямой с угловым коэффициентом - student2.ru . Тогда скалярное произведение векторов, т.е. левая часть (4.45), будет:

Уравнение прямой с угловым коэффициентом - student2.ru = A (x – x0) + B (y – y0) + C (z – z0) = 0 (4.44)

Мы пришли к уравнению плоскости, проходящей через данную точку, в координатной форме.

11. Уравнение прямой в пространстве.

Уравнение прямой с угловым коэффициентом - student2.ru (4.57)

Уравнения (4.57) определяют общее уравнение прямой в пространстве, если плоскости, определяемые этими уравнениями, различны и не параллельны, где n1=(A1,B1,C1), n2=(A2,B2,C2).

В декартовой системе прямоугольных координат уравнение любой плоскости приводится к виду Ах+Ву+Сz+D=0, где A,B,C,D - заданные числа, причем А222>0.

12. Расстояние от точки до плоскости.

Если уравнение плоскости задано в общем виде Ax + By + Cz + D = 0, то, чтобы найти расстояние от данной точки M0(x0,y0,z0),то расстояние от точки до плоскости находится по формуле:

Уравнение прямой с угловым коэффициентом - student2.ru .

13. Условия параллельности и перпендикулярности векторов.

Условием параллельности (коллинеарности) векторов является векторное произведение, равное нулю. Условием перпендикулярности (ортогональности) векторов является скалярное произведение, равное нулю.

14. Канонические уравнения кривых второго порядка: формулы, определения, чертеж.

Каноническое уравнение окружности

Определение. Окружностью называется геометрическое место точек, равноудаленных от одной и той же точки называемой центром.

Рассмотрим на кривой любую произвольную точку M(x, y) и обозначим C0(x0, y0) через центр окружности. Тогда CM = Уравнение прямой с угловым коэффициентом - student2.ru — радиус окружности.

Возведя обе части в квадрат, получим:

Уравнение прямой с угловым коэффициентом - student2.ru Уравнение прямой с угловым коэффициентом - student2.ru = R2 (5.2)

Уравнение (5.2.) называется каноническим уравнением окружности.

Каноническое уравнение эллипса

Определение. Эллипсом называется геометрическое место точек, сумма расстояний которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, равная 2a.

Для вывода канонического уравнения эллипса выберем начало O декартовой системы координат в середине отрезка F1F2. Обозначим через 2C расстояние F1F2 = 2C и F1 (-С, 0), F2 (С, 0).

Рассмотрим любую произвольную точку M(x,y) на эллипсе. Тогда по определению F1 М + F2 М = 2a , где F1М= Уравнение прямой с угловым коэффициентом - student2.ru и F2М= Уравнение прямой с угловым коэффициентом - student2.ru . Тогда Уравнение прямой с угловым коэффициентом - student2.ru это и называется каноническим уравнением эллипса.

Уравнение прямой с угловым коэффициентом - student2.ru Каноническое уравнение гиперболы.

Определение. Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, для которых разность расстояний до двух точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, равная 2а.

Чтобы составить уравнение гиперболы, возьмем за ось ОХ прямую, проходящую через точки F1 (С, 0) и F2 (-С, 0). Обозначим через 2С расстояние между F1 и F2, т.е. F1F2 = 2С. Через середину отрезка F1F2 проведем ось OY.

Рассмотрим любую произвольную точку M(x,y) на гиперболе. Тогда по определению

F1 М - F2 М = ± 2a. Тогда Уравнение прямой с угловым коэффициентом - student2.ru это уравнение называется каноническим уравнением гиперболы.

Определение параболы и вывод её канонического уравнения

Определение. Параболой называется геометрическое место точек плоскости, равностоящих от одной точки, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой.

Чтобы составить уравнение параболы, примем за ось Ox прямую, проходящую через фокус F перпендикулярно к директрисе. Будем считать, что начало координат O совпадает с серединой отрезка AF (рисунок 5.5), длина которого равна параметру P. Фокус F имеет координаты F(P/2; 0). Рассмотрим на параболе произвольную точку M(x,y). Тогда по определению FM = MN, где N (-P/2;y).

Уравнение прямой с угловым коэффициентом - student2.ru или Уравнение прямой с угловым коэффициентом - student2.ru , откуда

Уравнение прямой с угловым коэффициентом - student2.ru (5.19)

Уравнение (5.19) называется каноническим уравнением параболы.

Наши рекомендации