Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Положение всякой прямой однозначно определяется любой точкой , лежащей на этой прямой и углом , который образует эта прямая с положительным направлением

Положение всякой прямой однозначно определяется любой точкой Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Положение всякой прямой однозначно определяется любой точкой , лежащей на этой прямой и углом , который образует эта прямая с положительным направлением - student2.ru , лежащей на этой прямой и углом Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Положение всякой прямой однозначно определяется любой точкой , лежащей на этой прямой и углом , который образует эта прямая с положительным направлением - student2.ru , который образует эта прямая с положительным направлением оси Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Положение всякой прямой однозначно определяется любой точкой , лежащей на этой прямой и углом , который образует эта прямая с положительным направлением - student2.ru . Тангенс угла Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Положение всякой прямой однозначно определяется любой точкой , лежащей на этой прямой и углом , который образует эта прямая с положительным направлением - student2.ru (часто говорят: «угол наклона прямой к оси Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Положение всякой прямой однозначно определяется любой точкой , лежащей на этой прямой и углом , который образует эта прямая с положительным направлением - student2.ru ») называют угловым коэффициентом прямой. Обозначим: Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Положение всякой прямой однозначно определяется любой точкой , лежащей на этой прямой и углом , который образует эта прямая с положительным направлением - student2.ru .

 
  Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Положение всякой прямой однозначно определяется любой точкой , лежащей на этой прямой и углом , который образует эта прямая с положительным направлением - student2.ru

Заметим, что для прямой, параллельной оси Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Положение всякой прямой однозначно определяется любой точкой , лежащей на этой прямой и углом , который образует эта прямая с положительным направлением - student2.ru , угловой коэффициент Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Положение всякой прямой однозначно определяется любой точкой , лежащей на этой прямой и углом , который образует эта прямая с положительным направлением - student2.ru равен нулю, а для прямой, перпендикулярной оси Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Положение всякой прямой однозначно определяется любой точкой , лежащей на этой прямой и углом , который образует эта прямая с положительным направлением - student2.ru , угловой коэффици

Рис. 7

ент не существует. Нетрудно показать, что если прямая не перпендикулярна оси Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Положение всякой прямой однозначно определяется любой точкой , лежащей на этой прямой и углом , который образует эта прямая с положительным направлением - student2.ru и имеет направляющий вектор Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Положение всякой прямой однозначно определяется любой точкой , лежащей на этой прямой и углом , который образует эта прямая с положительным направлением - student2.ru , то угловой коэффициент Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Положение всякой прямой однозначно определяется любой точкой , лежащей на этой прямой и углом , который образует эта прямая с положительным направлением - student2.ru .

Для того чтобы вывести уравнение прямой, проходящей через заданную точку Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Положение всякой прямой однозначно определяется любой точкой , лежащей на этой прямой и углом , который образует эта прямая с положительным направлением - student2.ru и имеющей заданный угловой коэффициент Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Положение всякой прямой однозначно определяется любой точкой , лежащей на этой прямой и углом , который образует эта прямая с положительным направлением - student2.ru , умножим обе части канонического уравнения (2.4) на Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Положение всякой прямой однозначно определяется любой точкой , лежащей на этой прямой и углом , который образует эта прямая с положительным направлением - student2.ru и учтём, что Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Положение всякой прямой однозначно определяется любой точкой , лежащей на этой прямой и углом , который образует эта прямая с положительным направлением - student2.ru . Мы получим искомое уравнение в виде Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Положение всякой прямой однозначно определяется любой точкой , лежащей на этой прямой и углом , который образует эта прямая с положительным направлением - student2.ru . Если теперь ввести обозначение Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Положение всякой прямой однозначно определяется любой точкой , лежащей на этой прямой и углом , который образует эта прямая с положительным направлением - student2.ru , то это уравнение примет вид

Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Положение всякой прямой однозначно определяется любой точкой , лежащей на этой прямой и углом , который образует эта прямая с положительным направлением - student2.ru . (2.7)

Оно называется уравнением прямой с угловым коэффициентом.

Пример 23.Написать уравнение прямой, проходящей через точку Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Положение всякой прямой однозначно определяется любой точкой , лежащей на этой прямой и углом , который образует эта прямая с положительным направлением - student2.ru и составляющей с осью Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Положение всякой прямой однозначно определяется любой точкой , лежащей на этой прямой и углом , который образует эта прямая с положительным направлением - student2.ru угол Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Положение всякой прямой однозначно определяется любой точкой , лежащей на этой прямой и углом , который образует эта прямая с положительным направлением - student2.ru .

Решение. Найдем угловой коэффициент прямой Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Положение всякой прямой однозначно определяется любой точкой , лежащей на этой прямой и углом , который образует эта прямая с положительным направлением - student2.ru Далее подставляя в уравнение Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Положение всякой прямой однозначно определяется любой точкой , лежащей на этой прямой и углом , который образует эта прямая с положительным направлением - student2.ru Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Положение всякой прямой однозначно определяется любой точкой , лежащей на этой прямой и углом , который образует эта прямая с положительным направлением - student2.ru получим Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Положение всякой прямой однозначно определяется любой точкой , лежащей на этой прямой и углом , который образует эта прямая с положительным направлением - student2.ru или Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Положение всякой прямой однозначно определяется любой точкой , лежащей на этой прямой и углом , который образует эта прямая с положительным направлением - student2.ru

Взаимное расположение двух прямых на плоскости

Условие совпадения прямых. Две прямые Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Положение всякой прямой однозначно определяется любой точкой , лежащей на этой прямой и углом , который образует эта прямая с положительным направлением - student2.ru и Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Положение всякой прямой однозначно определяется любой точкой , лежащей на этой прямой и углом , который образует эта прямая с положительным направлением - student2.ru совпадают тогда и только тогда, когда Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Положение всякой прямой однозначно определяется любой точкой , лежащей на этой прямой и углом , который образует эта прямая с положительным направлением - student2.ru и Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Положение всякой прямой однозначно определяется любой точкой , лежащей на этой прямой и углом , который образует эта прямая с положительным направлением - student2.ru .

Условие параллельности прямых.

1) Две прямые Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Положение всякой прямой однозначно определяется любой точкой , лежащей на этой прямой и углом , который образует эта прямая с положительным направлением - student2.ru и Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Положение всякой прямой однозначно определяется любой точкой , лежащей на этой прямой и углом , который образует эта прямая с положительным направлением - student2.ru параллельны тогда и только тогда, когда Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Положение всякой прямой однозначно определяется любой точкой , лежащей на этой прямой и углом , который образует эта прямая с положительным направлением - student2.ru и Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Положение всякой прямой однозначно определяется любой точкой , лежащей на этой прямой и углом , который образует эта прямая с положительным направлением - student2.ru .

2) Две прямые Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Положение всякой прямой однозначно определяется любой точкой , лежащей на этой прямой и углом , который образует эта прямая с положительным направлением - student2.ru и Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Положение всякой прямой однозначно определяется любой точкой , лежащей на этой прямой и углом , который образует эта прямая с положительным направлением - student2.ru параллельны или совпадают тогда и только тогда, когда их нормальные векторы Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Положение всякой прямой однозначно определяется любой точкой , лежащей на этой прямой и углом , который образует эта прямая с положительным направлением - student2.ru и Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Положение всякой прямой однозначно определяется любой точкой , лежащей на этой прямой и углом , который образует эта прямая с положительным направлением - student2.ru коллинеарны.

Условие перпендикулярности прямых.

1) Две прямые Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Положение всякой прямой однозначно определяется любой точкой , лежащей на этой прямой и углом , который образует эта прямая с положительным направлением - student2.ru и Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Положение всякой прямой однозначно определяется любой точкой , лежащей на этой прямой и углом , который образует эта прямая с положительным направлением - student2.ru перпендикулярны тогда и только тогда, когда Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Положение всякой прямой однозначно определяется любой точкой , лежащей на этой прямой и углом , который образует эта прямая с положительным направлением - student2.ru .

2) Две прямые Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Положение всякой прямой однозначно определяется любой точкой , лежащей на этой прямой и углом , который образует эта прямая с положительным направлением - student2.ru и Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Положение всякой прямой однозначно определяется любой точкой , лежащей на этой прямой и углом , который образует эта прямая с положительным направлением - student2.ru перпендикулярны тогда и только тогда, когда их нормальные векторы Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Положение всякой прямой однозначно определяется любой точкой , лежащей на этой прямой и углом , который образует эта прямая с положительным направлением - student2.ru и Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Положение всякой прямой однозначно определяется любой точкой , лежащей на этой прямой и углом , который образует эта прямая с положительным направлением - student2.ru перпендикулярны.

Пример 24.Параллельны ли прямыеУравнение прямой с угловым коэффициентом. Положение всякой прямой однозначно определяется любой точкой , лежащей на этой прямой и углом , который образует эта прямая с положительным направлением - student2.ruиУравнение прямой с угловым коэффициентом. Положение всякой прямой однозначно определяется любой точкой , лежащей на этой прямой и углом , который образует эта прямая с положительным направлением - student2.ru ?

Решение. Приведем уравнения прямых к виду прямой с угловым коэффициентом. Получаем Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Положение всякой прямой однозначно определяется любой точкой , лежащей на этой прямой и углом , который образует эта прямая с положительным направлением - student2.ru Уравнение первой прямой Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Положение всякой прямой однозначно определяется любой точкой , лежащей на этой прямой и углом , который образует эта прямая с положительным направлением - student2.ru , второй - Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Положение всякой прямой однозначно определяется любой точкой , лежащей на этой прямой и углом , который образует эта прямая с положительным направлением - student2.ru Так как Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Положение всякой прямой однозначно определяется любой точкой , лежащей на этой прямой и углом , который образует эта прямая с положительным направлением - student2.ru прямые параллельны.

Угол между прямыми

Даны прямые Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Положение всякой прямой однозначно определяется любой точкой , лежащей на этой прямой и углом , который образует эта прямая с положительным направлением - student2.ru и Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Положение всякой прямой однозначно определяется любой точкой , лежащей на этой прямой и углом , который образует эта прямая с положительным направлением - student2.ru . Требуется найти угол Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Положение всякой прямой однозначно определяется любой точкой , лежащей на этой прямой и углом , который образует эта прямая с положительным направлением - student2.ru между ними.

 
  Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Положение всякой прямой однозначно определяется любой точкой , лежащей на этой прямой и углом , который образует эта прямая с положительным направлением - student2.ru

Рис. 8

Вычислим

Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Положение всякой прямой однозначно определяется любой точкой , лежащей на этой прямой и углом , который образует эта прямая с положительным направлением - student2.ru . (2.8)

Обозначения см. на рис. 8.

Для прямых, заданных уравнениями Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Положение всякой прямой однозначно определяется любой точкой , лежащей на этой прямой и углом , который образует эта прямая с положительным направлением - student2.ru и Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Положение всякой прямой однозначно определяется любой точкой , лежащей на этой прямой и углом , который образует эта прямая с положительным направлением - student2.ru формула (2.8) примет вид

Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Положение всякой прямой однозначно определяется любой точкой , лежащей на этой прямой и углом , который образует эта прямая с положительным направлением - student2.ru

Пример 25.

Найти тангенс угла между прямыми Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Положение всякой прямой однозначно определяется любой точкой , лежащей на этой прямой и углом , который образует эта прямая с положительным направлением - student2.ru и Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Положение всякой прямой однозначно определяется любой точкой , лежащей на этой прямой и углом , который образует эта прямая с положительным направлением - student2.ru .

Решение. Найдем угловые коэффициенты заданных прямых : Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Положение всякой прямой однозначно определяется любой точкой , лежащей на этой прямой и углом , который образует эта прямая с положительным направлением - student2.ru Воспользуемся формулой (2.8) и найдем Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Положение всякой прямой однозначно определяется любой точкой , лежащей на этой прямой и углом , который образует эта прямая с положительным направлением - student2.ru

Расстояние от точки до прямой

На плоскости даны Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Положение всякой прямой однозначно определяется любой точкой , лежащей на этой прямой и углом , который образует эта прямая с положительным направлением - student2.ru и прямая Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Положение всякой прямой однозначно определяется любой точкой , лежащей на этой прямой и углом , который образует эта прямая с положительным направлением - student2.ru . Тогда расстояние от точки Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Положение всякой прямой однозначно определяется любой точкой , лежащей на этой прямой и углом , который образует эта прямая с положительным направлением - student2.ru до прямой Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Положение всякой прямой однозначно определяется любой точкой , лежащей на этой прямой и углом , который образует эта прямая с положительным направлением - student2.ru находится по формуле

Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Положение всякой прямой однозначно определяется любой точкой , лежащей на этой прямой и углом , который образует эта прямая с положительным направлением - student2.ru (2.9)

Пример 26.Вычислить расстояние от точки Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Положение всякой прямой однозначно определяется любой точкой , лежащей на этой прямой и углом , который образует эта прямая с положительным направлением - student2.ru до прямой Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Положение всякой прямой однозначно определяется любой точкой , лежащей на этой прямой и углом , который образует эта прямая с положительным направлением - student2.ru

Решение. Для заданной прямой вектором нормали является вектор Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Положение всякой прямой однозначно определяется любой точкой , лежащей на этой прямой и углом , который образует эта прямая с положительным направлением - student2.ru Подставим в формулу (2.9) Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Положение всякой прямой однозначно определяется любой точкой , лежащей на этой прямой и углом , который образует эта прямая с положительным направлением - student2.ru и вычислим расстояние от точки Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Положение всякой прямой однозначно определяется любой точкой , лежащей на этой прямой и углом , который образует эта прямая с положительным направлением - student2.ru до прямой Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Положение всякой прямой однозначно определяется любой точкой , лежащей на этой прямой и углом , который образует эта прямая с положительным направлением - student2.ru

Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Положение всякой прямой однозначно определяется любой точкой , лежащей на этой прямой и углом , который образует эта прямая с положительным направлением - student2.ru

ПЛОСКОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ

Общее уравнение плоскости

Уравнение

Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Положение всякой прямой однозначно определяется любой точкой , лежащей на этой прямой и углом , который образует эта прямая с положительным направлением - student2.ru (3.1)

в котором Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Положение всякой прямой однозначно определяется любой точкой , лежащей на этой прямой и углом , который образует эта прямая с положительным направлением - student2.ru , называется общим уравнением плоскости.

3.2 Уравнение плоскости, проходящей через данную точку Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Положение всякой прямой однозначно определяется любой точкой , лежащей на этой прямой и углом , который образует эта прямая с положительным направлением - student2.ru перпендикулярно Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Положение всякой прямой однозначно определяется любой точкой , лежащей на этой прямой и углом , который образует эта прямая с положительным направлением - student2.ru .

Пусть в пространстве Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Положение всякой прямой однозначно определяется любой точкой , лежащей на этой прямой и углом , который образует эта прямая с положительным направлением - student2.ru плоскость Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Положение всякой прямой однозначно определяется любой точкой , лежащей на этой прямой и углом , который образует эта прямая с положительным направлением - student2.ru задана точкой Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Положение всякой прямой однозначно определяется любой точкой , лежащей на этой прямой и углом , который образует эта прямая с положительным направлением - student2.ruи вектором Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Положение всякой прямой однозначно определяется любой точкой , лежащей на этой прямой и углом , который образует эта прямая с положительным направлением - student2.ru ,перпендикулярным этой плоскости. Выведем уравнение плоскости Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Положение всякой прямой однозначно определяется любой точкой , лежащей на этой прямой и углом , который образует эта прямая с положительным направлением - student2.ru . Возьмем на ней произвольную точку Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Положение всякой прямой однозначно определяется любой точкой , лежащей на этой прямой и углом , который образует эта прямая с положительным направлением - student2.ruи составим вектор Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Положение всякой прямой однозначно определяется любой точкой , лежащей на этой прямой и углом , который образует эта прямая с положительным направлением - student2.ru

Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Положение всякой прямой однозначно определяется любой точкой , лежащей на этой прямой и углом , который образует эта прямая с положительным направлением - student2.ru

Рис. 9

Вектор Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Положение всякой прямой однозначно определяется любой точкой , лежащей на этой прямой и углом , который образует эта прямая с положительным направлением - student2.ru , поэтому Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Положение всякой прямой однозначно определяется любой точкой , лежащей на этой прямой и углом , который образует эта прямая с положительным направлением - student2.ru , т.е.

Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Положение всякой прямой однозначно определяется любой точкой , лежащей на этой прямой и углом , который образует эта прямая с положительным направлением - student2.ru (3.2)

Вектор Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Положение всякой прямой однозначно определяется любой точкой , лежащей на этой прямой и углом , который образует эта прямая с положительным направлением - student2.ruназывается нормальным вектором плоскости, а уравнение (3.2) называется уравнением плоскости по точке и нормальному вектору.

Пример 27.Написать уравнение плоскости, проходящей через точку Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Положение всякой прямой однозначно определяется любой точкой , лежащей на этой прямой и углом , который образует эта прямая с положительным направлением - student2.ru перпендикулярно вектору нормали Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Положение всякой прямой однозначно определяется любой точкой , лежащей на этой прямой и углом , который образует эта прямая с положительным направлением - student2.ru

Решение. Воспользуемся уравнением (3.1). В нашей задаче Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Положение всякой прямой однозначно определяется любой точкой , лежащей на этой прямой и углом , который образует эта прямая с положительным направлением - student2.ru Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Положение всякой прямой однозначно определяется любой точкой , лежащей на этой прямой и углом , который образует эта прямая с положительным направлением - student2.ru Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Положение всякой прямой однозначно определяется любой точкой , лежащей на этой прямой и углом , который образует эта прямая с положительным направлением - student2.ru

Имеем Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Положение всякой прямой однозначно определяется любой точкой , лежащей на этой прямой и углом , который образует эта прямая с положительным направлением - student2.ru . Раскрывая скобки и приводя подобные члены получаем общее уравнение прямой Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Положение всякой прямой однозначно определяется любой точкой , лежащей на этой прямой и углом , который образует эта прямая с положительным направлением - student2.ru

Наши рекомендации