Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнения Бернулли
Определения и методы решения
Определение 1.Уравнение вида:
(1)
где 
и 
– заданные непрерывные функции на 
называется линейным дифференциальным уравнением (ЛДУ). Если 
при 
то уравнение имеет вид:
и называется линейным однородным дифференциальным уравнением (ЛОДУ). А если 
при то уравнение (1) называется линейным неоднородным дифференциальным уравнением (ЛНДУ).
Метод решения ЛНДУ
1) Метод вариации произвольной постоянной:
· сначала решить соответствующее ЛОДУ, которое является уравнением с разделяющимися переменными:
(2)
· заменить в формуле (2) постоянную 
на неизвестную функцию 
и подставить это выражение вместо 
в уравнение (1), предварительно найдя 
· из полученного уравнения найти функцию 
· записать ответ:
где 
произвольная постоянная.
2) Метод Бернулли:
· выполнить в уравнении (1) замену Бернулли:
(3)
· приравнять к нулю выражение
и найти отсюда любое частное решение 
· подставить полученную функцию 
в уравнение (3) и найти общее решение 
из этого уравнения;
· записать ответ: 
где 
произвольная постоянная.
Уравнение Бернулли
Определение 2.Уравнение вида
где 
и 
(4)
называется уравнением Бернулли с показателем 
.
Уравнение (4) приводится к ЛНДУ(1) с помощью замены:
После этой замены уравнение (1) приводится к следующему:
Это уравнение ЛНДУ относительно функции 
Его можно решать также с помощью замены Бернулли. Но можно и уравнение (4), не проводя замену к функции 
, решать методом замены Бернулли непосредственно. При этом функция 
будет частным решением уравнения
а функция будет находиться из уравнения
.
Замечание 1. При таком решении при 
решение 
будет всегда потеряно.
Замечание 2. Некоторые дифференциальные уравнения первого порядка становятся линейными или уравнениями Бернулли, если в них поменять ролями искомую функцию и независимую переменную 
.
Примеры с решениями
Пример 1.Решить уравнение:
.
Решение. Уравнение имеет вид (1), где 
Решим его двумя способами.
Способ 1 (метод вариации постоянной)
1) Решим сначала ЛОДУ, соответствующее данному ЛНДУ:
Это уравнение с разделяющимися переменными:
, где 
произвольная постоянная.
2) Решение данного уравнения ищем в таком же виде, но считаем переменной 
т.е.
Найдем 
и подставим функцию 
в заданное уравнение:
где 
произвольная постоянная. Следовательно, общим решением заданного дифференциального уравнения будет:
Способ 2 (метод Бернулли)
Выполним в заданном уравнении замену Бернулли:
. (*)
1) Найдем функцию 
из уравнения:
где любое число.
Но так как нас интересует частное решение 
, то выберем значение 
:
2) Найдем функцию 
решая уравнение (*) при 
где – произвольная постоянная.
Следовательно, общее решение заданного уравнения можно записать:
Ответ: 
.
Пример 2.Решить задачу Коши:
Решение. Заданное уравнение является линейным неоднородным дифференциальным уравнением. Решим его методом Бернулли. Для этого сделаем замену:
которая приведет к следующему уравнению:
(**)
1) Функцию найдем из уравнения:
,
где любое число,
поэтому возьмем , т.е.
.
2) Найдем функцию из уравнения (**) при 
где – произвольная постоянная.
Общее решение данного уравнения:
В полученном общем решении найдем так, чтобы удовлетворялось условие: 
Значит, решением задачи Коши является функция
Ответ: 
.
Пример 3. Решить уравнение:
Решение. Данное уравнение не является линейным относительно функции 
Но если учесть, что
то уравнение можно переписать в виде:
(5)
которое является линейным уравнением относительно функции 
Решим полученное уравнение методом вариации постоянной:
1) Сначала решаем ЛОДУ:
2) Пусть 
тогда 
Подставим эту функцию в уравнение (5):
где 
– произвольная постоянная.
Следовательно, общее решение уравнения (5) имеет вид:
Чтобы найти общее решение заданного уравнения, заметим, что при переходе от данного уравнения к уравнению (5) могло быть потеряно решение . Действительно, подстановкой в исходное уравнение убеждаемся, что – решение данного уравнения и оно не попадает в общее решение уравнения (5) ни при каком значении 
Поэтому записываем его в ответ.
Ответ: 
Пример 4. Решить уравнение:
Решение. Данное уравнение является уравнением Бернулли с показателем 
Решим его методом Бернулли. Для этого выполним замену:
(***)
1) Функцию найдем из уравнения:
где – любое число (пусть 
), тогда
2) Найдем функцию 
из уравнения (***) при 
:
где – произвольная постоянная.
После преобразований получим:
Следовательно, общее решение данного уравнения запишется следующим образом:
Так как 
то в ответ запишем и потерянное решение 
Ответ: 
Примеры
Решить ДУ или задачи Коши:
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
12. 
13. 
14. 
15. 
16. 
17. 
18. 
19. 
20. 
Ответы
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
12. 
13. 
14. 
15. 
16. 
17. 
18. 
19. 
20. 