Первое уравнение Максвелла

1. Максвелл, основываясь на опытах Фарадея по изучению явления электромагнитной индукции, вывел закон: ЭДС электромагнитной индукции в контуре, помещенном в магнитное поле, равна скорости изменения магнитного потока, пронизывающего поверхность, ограниченную контуром: ε . Если контур неподвижен, а магнитное поле изменяется, то возникает вопрос: какова природа сторонних сил, приводящая в движение электрические заряды внутри проводящего контура? Как известно, сторонние силы не могут быть электростатическими. Максвелл выдвигает гипотезу, что около изменяющегося магнитного поля возникает электрическое поле, но это вихревое электрическое поле, силовые линии которого замкнуты. Это поле существует и без контура, который только обнаруживает его.

ЭДС контура, как источника тока, равна циркуляции напряженности поля сторонних сил, то есть напряженности вихревого электрического поля, по контуру: ε . Если в пространстве ещё имеется электростатическое поле, то его вклад в циркуляцию напряженности равен нулю. Магнитный поток, по определению, равен . Таким образом, закон Фарадея преобразуется в первое уравнение Максвелла

. 17.1

Циркуляция напряженности электрического поля равна скорости изменения магнитного потока через поверхность, ограниченную контуром.

Вихревое электрическое поле возникает также в системах отсчета, которые перемещаются относительно магнитного поля. Например, заряд движется в магнитном поле и на него действует сила Лоренца . В системе отсчета «заряд» заряд неподвижен, но на него действует такая же по величине и направлению сила. Это сила со стороны вихревого электрического поля , существующего в подвижной относительно магнитного поля системе отсчета. Напряженность вихревого электрического поля равна .

2. Существование вихревого электрического поля подтверждается экспериментально. Во-первых, в массивных проводящих телах быстропеременное магнитное поле возбуждает вихревые токи. Вихревые токи нагревают тела. Чтобы магнитопроводы трансформаторов, якорей электродвигателей не нагревались, их собирают из тонких пластин, так чтобы слой окалины между пластинками препятствовал протеканию токов. В индукционных печах наоборот теплота, выделяемая вихревыми токами, позволяет плавить материалы без контакта с пламенем и даже в вакууме.

В индукционном ускорителей электронов – бетатроне электроны разгоняет вихревое электрическое поле. Ускоритель состоит из электромагнита, между полюсами которого находится вакуумная камера в форме тора (рис. 17.1). Электромагнит подключен к генератору переменного тока. В момент включения магнитного поля в камеру впрыскиваются электроны и ускоряются силами вихревого электрического поля . Напряженность электрического поля определим по окружности, проходящей по середине камеры, на которой она постоянна из симметрии магнитного поля. Интегрируя первое уравнение Максвелла (17.1), получим . Откуда . Электроны разгоняются четверть периода колебания, пока индукция магнитного поля возрастает. В следующую четверть периода частицы будут тормозиться. Скорость в конце разгона определим, решая уравнение второго закона Ньютона . Подставив формулы силы, получим . Интегрируя уравнение по скорости от нуля до V и по индукции от нуля до В₀, получим формулу скорости электрона в конце разгона

. 17.2

На круговой траектории внутри тора электроны удерживаются магнитной силой Лоренца.

Ещё один пример проявления вихревого электрического поля это явление скин-эффекта. При протекании высокочастотного тока по проводнику происходит вытеснение тока к поверхности проводника. Пусть сила тока в проводнике возрастает (рис. 17.2). Густота силовых линий магнитного поля внутри проводника тоже возрастает. Появляется вихревое электрическое поле и вихревой электрический ток, направление которого определяется правилом Ленца. В середине проводника вихревой ток ослабляет возрастание силы тока источника, а на поверхности – усиливает. В следующую четверть периода при спаде тока всё должно происходить наоборот, но слабый ток и слабое магнитное поле не могут создать вихревых токов достаточной силы. Итак, ток течет практически по поверхности. В высокочастотной аппаратуре в качестве проводников применяют трубки, а их поверхность покрывают серебром с высокой электропроводностью.