Уравнение Максвелла в интегральной и дифференциальной форме. Их физический смысл, некоторые свойства уравнений Максвелла.

Уравне́ния Ма́ксвелла — система уравнений в дифференциальной или интегральной форме, которые описывают электромагнитное поле и его связь с электрическими зарядами и токами в вакууме и сплошных средах. Вместе с выражением для силы Лоренца образуют полную систему уравнений классической электродинамики, называемую иногда уравнениями Максвелла — Лоренца. Уравнения, сформулированные Джеймсом Клерком Максвеллом на основе накопленных к середине XIX века экспериментальных результатов, сыграли ключевую роль в развитии представлений теоретической физики и оказали сильное, зачастую решающее, влияние не только на все области физики, непосредственно связанные с электромагнетизмом, но и на многие возникшие впоследствии фундаментальные теории, предмет которых не сводился к электромагнетизму (одним из ярчайших примеров здесь может служить специальная теория относительности).

Дифференциальная формаУравнения Максвелла представляют собой в векторной записи систему из четырёх уравнений, сводящуюся в компонентном представлении к восьми (два векторных уравнения содержат по три компоненты каждое плюс два скалярных^[28]) линейных дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка для 12 компонент четырёх векторных функций ( ):

Название	СГС	СИ	Примерное словесное выражение
Закон Гаусса			Электрический заряд является источником электрической индукции.
Закон Гаусса для магнитного поля			Не существует магнитных зарядов.[~ 1]
Закон индукции Фарадея			Изменение магнитной индукции порождает вихревое электрическое поле.[~ 1]
Теорема о циркуляции магнитного поля			Электрический ток и изменение электрической индукции порождают вихревое магнитное поле

Жирным шрифтом в дальнейшем обозначаются векторные величины, курсивом — скалярные. Введённые обозначения:

• — плотность стороннего электрического заряда (в единицах СИ — Кл/м³);
• — плотность электрического тока (плотность тока проводимости) (в единицах СИ — А/м²); в простейшем случае — случае тока, порождаемого одним типом носителей заряда, она выражается просто как , где — (средняя) скорость движения этих носителей в окрестности данной точки, — плотность заряда этого типа носителей (она в общем случае не совпадает с )^[29]; в общем случае это выражение надо усреднить по разным типам носителей;
• — скорость света в вакууме (299 792 458 м/с);
• — напряжённость электрического поля (в единицах СИ — В/м);
• — напряжённость магнитного поля (в единицах СИ — А/м);
• — электрическая индукция (в единицах СИ — Кл/м²);
• — магнитная индукция (в единицах СИ — Тл = Вб/м² = кг•с⁻²•А⁻¹);
• — дифференциальный оператор набла, при этом:

означает ротор вектора,

означает дивергенцию вектора.

Приведённые выше уравнения Максвелла не составляют ещё полной системы уравнений электромагнитного поля, поскольку они не содержат свойств среды, в которой возбуждено электромагнитное поле. Соотношения, связывающие величины , , , и и учитывающие индивидуальные свойства среды, называются материальными уравнениями.

Интегральная форма

При помощи формул Остроградского — Гаусса и Стокса дифференциальным уравнениям Максвелла можно придать форму интегральных уравнений:

Название	СГС	СИ	Примерное словесное выражение
Закон Гаусса			Поток электрической индукции через замкнутую поверхность пропорционален величине свободного заряда, находящегося в объёме , который окружает поверхность .
Закон Гаусса для магнитного поля			Поток магнитной индукции через замкнутую поверхность равен нулю (магнитные заряды не существуют).
Закон индукции Фарадея			Изменение потока магнитной индукции, проходящего через незамкнутую поверхность , взятое с обратным знаком, пропорционально циркуляции электрического поля на замкнутом контуре , который является границей поверхности .
Теорема о циркуляции магнитного поля			Полный электрический ток свободных зарядов и изменение потока электрической индукции через незамкнутую поверхность , пропорциональны циркуляции магнитного поля на замкнутом контуре , который является границей поверхности .

Поток электрического поля через замкнутую поверхность

Введённые обозначения:

• — двумерная замкнутая в случае теоремы Гаусса поверхность, ограничивающая объём , и открытая поверхность в случае законов Фарадея и Ампера — Максвелла (её границей является замкнутый контур ).
• — электрический заряд, заключённый в объёме , ограниченном поверхностью (в единицах СИ — Кл);
• — электрический ток, проходящий через поверхность (в единицах СИ — А).

При интегрировании по замкнутой поверхности вектор элемента площади направлен из объёма наружу. Ориентация при интегрировании по незамкнутой поверхности определяется направлением правого винта, «вкручивающегося» при повороте в направлении обхода контурного интеграла по .

Словесное описание законов Максвелла, например, закона Фарадея, несёт отпечаток традиции, поскольку вначале при контролируемом изменении магнитного потока регистрировалось возникновение электрического поля (точнее электродвижущей силы). В общем случае в уравнениях Максвелла (как в дифференциальной, так и в интегральной форме) векторные функции являются равноправными неизвестными величинами, определяемыми в результате решения уравнений.

Рассмотрим физический смысл этих 4 уравнений: силовые линии электрического поля электромагнитной волны замкнуты, как и силовые линии магнитного поля.

Одно из уравнений гласит, что электрическое поле образуется зарядами и его силовые линии начинаются и заканчиваются на зарядах.

Другое уравнение описывает магнитные силовые линии — это кольцеобразные замкнутые линии.

Третье уравнение представляет собой общий случай закона электромагнитной индукции Фарадей: любое изменение магнитного поля генерирует в соответствии с этим уравнением вихревое электрическое поле.

Четвертое уравнение. До Максвелла была известно часть этого уравнения, которая годилась для постоянных токов — это закон Ампера, утверждающий, что текущие по проводам электрические заряды (т.е. постоянный ток) создают определяемое уравнением Ампера магнитное поле.

Связав с помощью уравнений открытые до него законы, Максвелл увидел, что система несовершенна. Чтобы система имела решение, Максвелл добавил в четвертое уравнение одно слагаемое, а именно к току движущихся зарядов (ток проводимости) добавил воображаемый им ток смещения. Так он назвал изменяющееся во времени электрическое поле.

Ток смещения подобно электрическому току зарядов порождает магнитное поле. Т.об. Максвелл ввел в уравнение Ампера слагаемое, которое убывает. Это волновое слагаемое — часть поля, которое угасает гараздо медленнее обратного квадрата расстояния.

17. Свободные колебания в колебательном контуре. Дифференциальное уравнение затухающих электромагнитных колебаний и его решения.

Свободные колебания — колебания в системе под действием внутренних тел, после того как система выведена из положения равновесия.
Колебания груза, подвешенного на нити, или груза, прикрепленного к пружине, — это примеры свободных колебаний. После выведения этих систем из положения равновесия создаются условия, при которых тела колеблются без воздействия внешних сил.
Система — группа тел, движение которых мы изучаем.
Внутренние силы — силы, действующие между телами системы.
Внешние силы — силы, действующие на тела системы со стороны тел, не входящих в нее.
Условия возникновения свободных колебаний.

При выведении тела из положения равновесия в системе должна возникать сила, направленная к положению равновесия и, следовательно, стремящаяся возвратить тело в положение равновесия.
Пример: при перемещении шарика, прикрепленного к пружине, влево и при его перемещении вправо сила упругости направлена к положению равновесия.
Трение в системе должно быть достаточно мало. Иначе колебания быстро затухнут или вовсе не возникнут. Незатухающие колебания возможны лишь при отсутствии трения.

Если рассматривать колебательный контур, то для получения вынужденных колебаний (рис. 8.4), нужно включить последовательно с элементами контура переменную эдс или, разорвав контур, подать напряжение:

Рис. 8.4. Вынужденные колебания в колебательном контуре

U = U_mcosw, тогда уравнение будет иметь вид:

<!--[if !supportEmptyParas]--> <!--[endif]--> _{<!--[if !vml]--> <!--[endif]-->}, (8.15)

<!--[if !supportEmptyParas]--> <!--[endif]-->

после замены получим

<!--[if !supportEmptyParas]--> <!--[endif]--> _{<!--[if !vml]--> <!--[endif]-->}. (8.16)

Решение полученного неоднородного дифференциального уравнения находим прибавлением к его частному решению общего решения соответствующего однородного уравнения. Частное решение имеет вид

_{<!--[if !vml]--> <!--[endif]-->},

где _{<!--[if !vml]--> <!--[endif]-->}.

Подставив в эти выражения значения _{<!--[if !vml]--> <!--[endif]-->}, получим:

<!--[if !supportEmptyParas]--> <!--[endif]--> _{<!--[if !vml]--> <!--[endif]-->}. (8.17)

<!--[if !supportEmptyParas]--> <!--[endif]-->Разделив заряд на емкость, получим напряжение на конденсаторе:

_{<!--[if !vml]--> <!--[endif]-->},

где _{<!--[if !vml]--> <!--[endif]-->}. Установившийся ток в контуре _{<!--[if !vml]--> <!--[endif]-->}. Амплитуда тока имеет вид

<!--[if !supportEmptyParas]--> <!--[endif]--> _{<!--[if !vml]--> <!--[endif]-->}. (8.18)

<!--[if !supportEmptyParas]--> <!--[endif]-->

Резонансная частота для контура

<!--[if !supportEmptyParas]--> <!--[endif]--> _{<!--[if !vml]--> <!--[endif]--> <!--[if !vml]--> <!--[endif]-->}. (8.19)

Резонансные кривые для U_C и тока I имеют такой вид, как показано на рис. 8.5.

Рис. 8.5. Явление резонанса напряжений и токов в колебательном контуре: кривые 1, 2, 3 соответствуют всё бóльшему активному сопротивлению контура

<!--[if !supportEmptyParas]--> <!--[endif]-->

При _{<!--[if !vml]--> <!--[endif]-->} резонансные кривые стремятся к U_m – напряжению, возникающему на конденсаторе при подключению его к источнику постоянного напряжения. Максимум при резонансе получается тем выше и острее, чем меньше _{<!--[if !vml]--> <!--[endif]-->}, т. е. чем меньше активное сопротивление и больше индуктивность контура. Тогда амплитуда силы тока имеет максимальное значение при _{<!--[if !vml]--> <!--[endif]-->}. Следовательно, резонансная частота для силы тока совпадает с собственной частотой контура _{<!--[if !vml]--> <!--[endif]-->}.