Третье уравнение Максвелла
Для того чтобы получить третье уравнение Максвелла, используем второе уравнение Максвелла в дифференциальной форме:
(2.14)
Выполним операцию дивергенция с левой и правой частью уравнения (2.14):
(2.15)
Рассмотрим дифференциальные операции правой части уравнения (2.15):
(2.16)
При записи формулы (2.15) использованы свойства смешанного произведения векторов, а также то, что векторное произведение одинаковых векторов равно нулю.
Подставляем формулу (2.16) в формулу (2.15) и получаем:
(2.17)
Так как дивергенция является операцией дифференцирования по координатам, которые, как и время, являются независимыми переменными величинами, то операции дивергенции и производной по времени можно поменять местами:
(2.18)
Из формулы (2.18) следует, что:
(2.19)
Значение 
в формуле (2.19) определяется из начальных условий. За начальные условия можно выбрать такие точки пространства, в которых нет магнитного поля в начальный момент времени. Тогда значение будет равно нулю:
(2.20)
Подставляем формулу (2.20) в формулу (2.19) и получаем третье уравнение Максвелла, которое имеет вид:
(2.21)
Третье уравнение Максвелла (2.21) утверждает, что внутри окрестности некоторой точки в магнитном поле не происходит разрыва вектора индукции магнитного поля. Другими словами, у линий вектора индукции магнитного поля нет ни начала, ни конца, они замкнуты.
Получим интегральную форму записи третьего уравнения Максвелла. Для этого умножим выражение (2.21) на элемент объема 
и проинтегрируем по всему объему:
(2.22)
Теперь воспользуемся теоремой Гаусса, согласно которой получаем:
(2.23)
В формуле (2.23) 
- замкнутая поверхность, ограничивающая выделенный объем, 
- проекция вектора индукции магнитного поля на нормаль к замкнутой поверхности .
Объединяя результаты формул (2.22) и (2.23), получаем третье уравнение Максвелла в интегральной форме:
(2.24)
Интегральная форма третьего уравнения Максвелла имеет такой же смысл, как и дифференциальная форма, но она относится не к точке, а к некоторому конечному объему. По сути, это уравнение показывает: сколько линий индукции магнитного поля «заходит» в некоторый выделенный объем, столько же и «выходит» из этого объема. Линии вектора индукции магнитного поля нигде не начинаются и нигде не заканчиваются. Они замкнуты.
Здесь вместо понятия «силовые линии» используется понятие линии вектора индукции или вектора напряженности. Это более точное понятие, особенно, если рассматривается магнитное поле, в котором линии индукции определяется не силой, а моментом силы.
Третье уравнение Максвелла можно записать, как обобщение опытного факта, что линии индукции магнитного поля замкнуты. Для этого достаточно этот факт записать с помощью векторного анализа.