Первый замечательный предел

Предел отношения синуса к его аргументу равен единице в случае, когда аргумент стремится к нулю.

Следствия из первого замечательного предела

1°

2°

3°

4°

Второй замечательный предел:

или

Следствия

1.

2.

3.

4.

5. для ,

6.

13 Эквивалентные функции. Теорема о вычислении пределов для эквивалентных функций.

Определение :
Если в которой определены и ,
причём и – эквивалентные при и пишут

Понятие эквивалентные обычно используют, когда f и g – бесконечно малые илибесконечно большие при

Критерий:
Для того, чтобы две бесконечно малые и были эквивалентны, необходимо и достаточно, чтобы было
Положив , будем иметь
Отсюда сразу и вытекает наше утверждение. Действительно, если , то , то есть есть бесконечно малая высшего порядка, чем и . Обратно, если дано, что , то , а тогда .
С помощью этого критерия, например, видно, что при бесконечно малая эквивалентна , а .
Доказанное свойство эквивалентных бесконечно малых приводит к использованию их при раскрытии неопределённости . Т.е. при разыскании предела отношения двух бесконечно малых . Каждая из них при этом может быть заменена, без влияния на предел, любой эквивалентной ей бесконечно малой

14 Непрерывность функции в точке. Различные определения непрерывной функции.

Основные понятия и определения

Определение

Функция называется непрерывной в точке , если:

1. функция определена в точке и ее окрестности;

2. существует конечный предел функции в точке ;

3. это предел равен значению функции в точке , т.е.

Замечание

При нахождении предела функции , которая является непрерывной, можно переходить к пределу под знаком функции, то есть

Пример

Задание. Вычислить предел

Решение.

Ответ.

Если функции и непрерывны в точке , то функции , , также непрерывны в точке ..

Пусть функция непрерывна в точке , а функция непрерывна в точке . Тогда композиция функций непрерывна в точке .

Каждая элементарная функция, заданная в окрестности некоторой точки, непрерывна в этой точке.

15 Локальные свойства непрерывных функций.

Локальными называют такие свойства функций, которые определяются поведением функции в сколь угодно малой окрестности точки области определения.

1 Теорема – если y=f(x) непрерывна в точкеx0 ,то она обязательно ограничена в какой т окрестности этой точки.

2 Теорема – если y=f(x)непрерывна в точке x0и y(x0) ≠0,то некоторой окрестност этой точки x0все значения ф-ии либо + либо - !!!

3. Теорема – f(x) + g(x) –если эти 2 функции непрерывны в точке x0,значит в этой точке непрерывна их сумма(разность, произведение и т.д)

4 Теорема – если -U=U(x) имеет предел в точке x0 равный A, то ф-ия y=f(U(x))непрерывна. Lim =

5 Теорема (непрерывность сложной ф-ии) – если U=U(x)непрерывна в точке x0,а y=f(U)непрерывна в точке U0,тогда тогда сложная ф-ия y=f(U(x))также будет непрерывна в точке x0.

16 Точки разрыва функции и их классификация.

Определение точки разрыва

Определение

Точка , в которой нарушено хотя бы одно из трех условий непрерывности функции, а именно:

1. функция определена в точке и ее окрестности;

2. существует конечный предел функции в точке ;

3. это предел равен значению функции в точке , т.е.

называется точкой разрыва функции.

Пример

Функция не определена в точке , а значит, эта точка является точкой разрыва указанной функции.