Метод Фурье решения краевых задач для уравнения Лапласа
Решение краевых задач для уравнения Лапласа в случае некоторых простейших областей (круг, сектор, кольцо, прямоугольник, шар, цилиндр) может быть найдено также методом Фурье. Получающиеся при этом задачи Штурма- Лиувилля на собственные значения приводят к различным классам специальных функций. В этом параграфе мы рассмотрим задачу Дирихле для кругового сектора и круга, при решении которых, как и в предыдущих параграфах, используются только тригонометрические функции.
При решении задач в круговом секторе или в круге удобно перейти к полярным координатам
Выражая производные 
через производные по переменным 
с
помощью формул (3.4), уравнение Лапласа 
в полярных коор-
динатах можно записать в виде
(8.1)
8.1. Задача Дирихле для уравнения Лапласа в круговом секторе.Найти функцию 
, непрерывную в замкнутом круговом секторе 
удовлетворяющую внутри кругового сектора уравнению Лапласа (8.1) и граничным условиям:
(8.2)
(8.3)
где 
заданная функция, удовлетворяющая условию 
.
Согласно методу Фурье решение уравнения (8.1) при условиях (8.3) будем искать в виде
(8.4)
Подставляя (8.4) в уравнение (8.1), получаем
,
откуда для определения неизвестных функций 
будем иметь уравнения:
(8.5)
(8.6)
Из граничных условий (8.3) следует, что
(8.7)
Итак, для определения функции 
имеем задачу Штурма- Лиувилля (8.6), (8.7). Эта задача изучена нами в §§6,7. Ее решение имеет вид:
(8.8)
Подставляя значения 
из (8.8) в уравнение (8.5), получаем
(8.9)
которое представляет собой однородное дифференциальное уравнение Эйлера второго порядка. Его решения можно искать в виде
, (8.10)
где 
- некоторая постоянная.
Подставляя (8.10) в уравнение (8.9) и сокращая на 
, для определения постоянной приходим к уравнению
,
корнями которого являются 
Следовательно, общее решение уравнения Эйлера (8.9) имеет вид
(8.11)
где 
произвольные постоянные.
Так как решение должно быть непрерывным в замкнутом круговом секторе, то 
Тогда из (8.11) получим
(8.12)
Теперь, если (8.8), (8.12) подставить в (8.4), то получим частные решения уравнения (8.1), удовлетворяющие граничным условиям (8.3), следующего вида
Чтобы удовлетворить условию (8.2), составим ряд из этих частных решений:
(8.13)
Подставляя (8.13) в условие (8.2), будем иметь:
(8.14)
(8.14) есть разложение функции 
в ряд Фурье по синусам. Поступая как и в §§6,7, приходим к тому, что соотношение (8.14) будет удовлетворено, если коэффициенты разложения (8.14) определены по формулам
откуда
(8.15)
Подставляя (8.15) в (8.13), получаем решение задачи Дирихле (8.1)- (8.3).
8.2. Задача Дирихле для уравнения Лапласа в круге.Найти функцию , непрерывную в замкнутом круге 
удовлетворяющую внутри круга уравнению Лапласа (8.1) и граничному условию
(8.16)
где заданная непрерывная функция.
Прежде всего, заметим, что в случае круга искомая функция должна быть периодической с периодом 
:
(8.17)
Поэтому функция дополнительно должна удовлетворять условию
Ищем решение уравнения Лапласа (8.1), удовлетворяющее условию (8.17), снова в виде (8.4). Для определения функций , как и в предыдущем пункте 8.1, получаем уравнения (8.5), (8.6). Условие (8.17) дает
(8.18)
Итак, для функции имеем задачу Штурма- Лиувилля (8.6), (8.18). Решаем ее. Рассмотрим три случая.
1) 
Общее решение уравнения (8.6) имеет вид:
где 
произвольные постоянные. Ясно, что ни при каких постоянных 
не равных одновременно нулю, не является периодической, т.е. не выполняется условие (8.18), а значит, задача Штурма- Лиувилля в этом случае не имеет решения.
2) 
Общее решение уравнения (8.6)
Из условия (8.18) следует, что 
, следовательно, задача Штурма- Лиувилля имеет решение вида
3) 
Общее решение уравнения (8.6) есть
Это решение будет удовлетворять условию периодичности (8.18) лишь при 
Таким образом, решения задачи Штурма- Лиувилля (8.6), (8.18) имеют вид:
(8.19)
(отрицательные значения 
не дают новых решений), где 
произвольные постоянные.
Теперь значения 
подставим в уравнение (8.5) и, рассуждая как в пункте 8.1, находим его решения в виде
(8.20)
Внося выражения 
из (8.19), (8.20) в (8.4), получаем частные решения уравнения Лапласа (8.1), удовлетворяющие условию периодичности (8.17), в виде
(8.21)
Чтобы удовлетворить граничному условию (8.16), из частных решений (8.21) образуем ряд
(8.22)
Подставляя (8.22) в граничное условие (8.16), получаем
(8.23)
Ряд слева в (8.23) есть полный тригонометрический ряд Фурье для отрезка 
Поэтому мы удовлетворим условию (8.23), если положим 
равными коэффициентам Фурье функции 
(8.24)
Подставляя значения коэффициентов 
из (8.24) в (8.22), получаем решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа в круге.
Отметим, что построенные решения задачи Дирихле в круговом секторе (8.13) и в круге (8.22) являются формальными. Для их обоснования необходимо провести те же рассуждения, что и в случае уравнения колебаний струны (§6).
В заключение отметим, что решение задачи Дирихле в круге (8.22) можно представить в виде
Эта формула называется формулой Пуассона, а интеграл справа – интегралом Пуассона.
Пример 8.1.Решить методом Фурье краевую задачу для уравнения Лапласа в круговом секторе 
, 
:
Решение.Решение этой задачи дается формулой (8.13), в которой коэффициенты определены соотношениями (8.15). В нашем случае
Подставляя эти значения в (8.15), для определения коэффициентов 
получаем 
Вычислим интегралы:
если 
при 
Таким образом, все коэффициенты 
с четными номерами равны нулю.
Теперь, подставив найденные значения коэффициентов в формулу (8.13), получим решение исходной задачи в следующем виде
Пример 8.2.Решить методом Фурье краевую задачу для уравнения Лапласа в круге 
, 
:
Решение.Решение этой задачи дается формулой (8.22), в которой коэффициенты 
определены при помощи соотношений (8.24). Сначала коэффициенты найдем с помощью (8.24). Так как в нашем случае 
то из формул (8.24) будем иметь:
если
при
если
при
Внося найденные значения коэффициентов в формулу (8.22), получаем решение исходной задачи в виде
Второй способ нахождения коэффициентов 
Функцию (8.22) подставим в граничное условие:
Сравнивая коэффициенты при 
и 
, для определения получаем
откуда 
остальные 
и все 
равны нулю.
Задачи
Методом Фурье найти решения следующих краевых задач для уравнения Лапласа:
8.1. 
8.2. 
8.3. 
8.4. 
8.5. 
8.6. 
Использованная литература
1.Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики.- М.: Наука, 1972.- 736 с.
2. Крикунов Ю.М. Лекции по уравнениям математической физики и интегральным уравнениям.- Казань: Изд-во Казанск. ун-та,1970.- 210 с.
3. Будак Б.М., Самарский А.А., Тихонов А.Н. Сборник задач по математической физике.- М.: Физматлит,2004.-688 с.
4. Вуколов Э.А., Ефимов А.В., Земсков В.Н. и др. Сборник задач по математике для втузов. Ч.4. Методы оптимизации. Уравнения в частных производных. Интегральные уравнения.- М.: Наука,1990.-304 с.
Содержание
Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
§1. Основные понятия и определения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
§2. Основные дифференциальные уравнения математической физики. Постановка задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.1. Малые поперечные колебания струны . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. . 5
2.2. Распространение тепла в изотропном твердом теле . . . . . . . . 9
2.3. Установившаяся температура в однородном теле . . . . . . . . . 12
§3. Классификация и приведение к каноническому виду уравнений с частными производными второго порядка с двумя независимыми переменными . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
§4. Нахождение общих решений некоторых дифференциальных уравнений с частными производными . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
§5. Метод Даламбера решения задачи Коши для уравнения свободных колебаний струны . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
§6. Метод Фурье решения смешанных задач для уравнения колебаний струны . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
6.1.Случай свободных колебаний. Однородные граничные усло-
вия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
6.2. Случай вынужденных колебаний. Однородные граничные условия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 31
6.3. Случай вынужденных колебаний. Неоднородные граничные условия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
§7. Метод Фурье решения начально- краевых задач для уравнения теплопроводности в тонком стержне . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
7.1. Случай однородного уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
7.2. Случай неоднородного уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
§8. Метод Фурье решения краевых задач для уравнения Лапласа . 46
8.1. Задача Дирихле для уравнения Лапласа в круговом секторе . 47
8.2. Задача Дирихле для уравнения Лапласа в круге . . . . . . . . . . 49
Использованная литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53