Цепи с распределенными параметрами. Первичные параметры однородной линии. Дифференциальные уравнения однородной линии

Цепи с распределенными параметрами. Первичные параметры однородной линии. Дифференциальные уравнения однородной линии - student2.ru -продольное активное сопротивление единицы длины линии; Цепи с распределенными параметрами. Первичные параметры однородной линии. Дифференциальные уравнения однородной линии - student2.ru -индуктивность единицы длины линии; Цепи с распределенными параметрами. Первичные параметры однородной линии. Дифференциальные уравнения однородной линии - student2.ru -емкость единицы длины линии; Цепи с распределенными параметрами. Первичные параметры однородной линии. Дифференциальные уравнения однородной линии - student2.ru -поперечная проводимость единицы длины линии. Разобьем линию на участки длиной dx, где x-расстояние, отсчитываемое от начала линии. На длине dx активное сопротивление равно Цепи с распределенными параметрами. Первичные параметры однородной линии. Дифференциальные уравнения однородной линии - student2.ru , индуктивность - Цепи с распределенными параметрами. Первичные параметры однородной линии. Дифференциальные уравнения однородной линии - student2.ru , проводимость утечки - Цепи с распределенными параметрами. Первичные параметры однородной линии. Дифференциальные уравнения однородной линии - student2.ru и емкость - Цепи с распределенными параметрами. Первичные параметры однородной линии. Дифференциальные уравнения однородной линии - student2.ru . Обозначим ток в начале рассматриваемого участка линии через i и напряжение между проводами линии в начале участка u. Если для некоторого момента времени t ток в начале рассматриваемого участка равен i, то в результате утечки через поперечный элемент ток в конце участка для того же момента времени равен Цепи с распределенными параметрами. Первичные параметры однородной линии. Дифференциальные уравнения однородной линии - student2.ru , где Цепи с распределенными параметрами. Первичные параметры однородной линии. Дифференциальные уравнения однородной линии - student2.ru - скорость изменения тока в направлении x. Скорость, умноженная на расстояние dx, является приращением тока на пути dx. Аналогично, если напряжение в начале участка u, то в конце участка для того же момента времени напряжение равно Цепи с распределенными параметрами. Первичные параметры однородной линии. Дифференциальные уравнения однородной линии - student2.ru . Составим уравнение по второму закону Кирхгофа для замкнутого контура, образованного участком линии длиной dx, обойдя его по часовой стрелке:

Цепи с распределенными параметрами. Первичные параметры однородной линии. Дифференциальные уравнения однородной линии - student2.ru

После упрощения и деления уравнения на dx получим Цепи с распределенными параметрами. Первичные параметры однородной линии. Дифференциальные уравнения однородной линии - student2.ru (1)

По первому закону Кирхгофа, Цепи с распределенными параметрами. Первичные параметры однородной линии. Дифференциальные уравнения однородной линии - student2.ru (2)

Ток di (рис.2) равен сумме токов, проходящих через проводимость Цепи с распределенными параметрами. Первичные параметры однородной линии. Дифференциальные уравнения однородной линии - student2.ru и емкость Цепи с распределенными параметрами. Первичные параметры однородной линии. Дифференциальные уравнения однородной линии - student2.ru :

Цепи с распределенными параметрами. Первичные параметры однородной линии. Дифференциальные уравнения однородной линии - student2.ru

Пренебрегаем слагаемыми второго порядка малости, тогда Цепи с распределенными параметрами. Первичные параметры однородной линии. Дифференциальные уравнения однородной линии - student2.ru (3)

Подставим (3) в (2), упростим и поделим уравнение на dx: Цепи с распределенными параметрами. Первичные параметры однородной линии. Дифференциальные уравнения однородной линии - student2.ru (4)

Уравнения (1) и (4) являются основными дифференциальными уравнениями для линии с распределенными параметрами.

Синусоидальный режим в однородной линии. Волновое сопротивление линии. Коэффициент распространения. Общий вид уравнений однородной линии.

Обозначим комплексные действующие значения напряжения и тока на расстоянии x от начала линии через Цепи с распределенными параметрами. Первичные параметры однородной линии. Дифференциальные уравнения однородной линии - student2.ru и Цепи с распределенными параметрами. Первичные параметры однородной линии. Дифференциальные уравнения однородной линии - student2.ru

Применяя комплексную форму записи, получаем на основании уравнений Цепи с распределенными параметрами. Первичные параметры однородной линии. Дифференциальные уравнения однородной линии - student2.ru (1) следующие уравнения Цепи с распределенными параметрами. Первичные параметры однородной линии. Дифференциальные уравнения однородной линии - student2.ru (2).

Поскольку комплексные величины Цепи с распределенными параметрами. Первичные параметры однородной линии. Дифференциальные уравнения однородной линии - student2.ru и Цепи с распределенными параметрами. Первичные параметры однородной линии. Дифференциальные уравнения однородной линии - student2.ru не зависят от t и являются функциями только x, при переходе от уравнений (1) к (2) частные производные по x заменены обыкновенными.

Исключая из системы (2) ток Цепи с распределенными параметрами. Первичные параметры однородной линии. Дифференциальные уравнения однородной линии - student2.ru , получаем уравнение относительно Цепи с распределенными параметрами. Первичные параметры однородной линии. Дифференциальные уравнения однородной линии - student2.ru :

Цепи с распределенными параметрами. Первичные параметры однородной линии. Дифференциальные уравнения однородной линии - student2.ru (3)

Аналогично, исключая из системы (2) напряжение Цепи с распределенными параметрами. Первичные параметры однородной линии. Дифференциальные уравнения однородной линии - student2.ru , получаем уравнение относительно Цепи с распределенными параметрами. Первичные параметры однородной линии. Дифференциальные уравнения однородной линии - student2.ru :

Цепи с распределенными параметрами. Первичные параметры однородной линии. Дифференциальные уравнения однородной линии - student2.ru (4)

Введём обозначение

Цепи с распределенными параметрами. Первичные параметры однородной линии. Дифференциальные уравнения однородной линии - student2.ru (5)

и назовём эту величину коэффициентом распространения. Итак, уравнения (3) и (4) записываются в виде:

Цепи с распределенными параметрами. Первичные параметры однородной линии. Дифференциальные уравнения однородной линии - student2.ru (6)

Получились однородные линейные дифференциальные уравнения второго порядка. Решение первого уравнения системы (6) имеет вид:

Цепи с распределенными параметрами. Первичные параметры однородной линии. Дифференциальные уравнения однородной линии - student2.ru (7)

Ток Цепи с распределенными параметрами. Первичные параметры однородной линии. Дифференциальные уравнения однородной линии - student2.ru проще всего находится подстановкой решения (7) в первое уравнение системы (2):

Цепи с распределенными параметрами. Первичные параметры однородной линии. Дифференциальные уравнения однородной линии - student2.ru

или

Цепи с распределенными параметрами. Первичные параметры однородной линии. Дифференциальные уравнения однородной линии - student2.ru (8)

где

Цепи с распределенными параметрами. Первичные параметры однородной линии. Дифференциальные уравнения однородной линии - student2.ru (9)

называется волновым сопротивлением линии.

Подставим (5) в (7), получим:

Цепи с распределенными параметрами. Первичные параметры однородной линии. Дифференциальные уравнения однородной линии - student2.ru Цепи с распределенными параметрами. Первичные параметры однородной линии. Дифференциальные уравнения однородной линии - student2.ru

Мгновенное значение напряжения в точке x равно мнимой части выражения Цепи с распределенными параметрами. Первичные параметры однородной линии. Дифференциальные уравнения однородной линии - student2.ru

Цепи с распределенными параметрами. Первичные параметры однородной линии. Дифференциальные уравнения однородной линии - student2.ru (10)

где Цепи с распределенными параметрами. Первичные параметры однородной линии. Дифференциальные уравнения однородной линии - student2.ru , Цепи с распределенными параметрами. Первичные параметры однородной линии. Дифференциальные уравнения однородной линии - student2.ru - аргументы комплексных величин A1 и A2 соответственно.

Наши рекомендации