Многоканальная СМО с ожиданием

Рассмотрим многоканальную систему массового обслуживания с ожиданием. Процесс массового обслуживания при этом характеризуется следующим: входной и выходной потоки имеют интенсивности λ и μ соответственно, параллельно обслуживаться могут не более С клиентов, то есть система имеет С каналов обслуживания. Средняя продолжительность обслуживания одного клиента равна .

Вероятности того, что в системе находятся п заявок (С обслуживаются, остальные ожидают в очереди) равна:

где

.

Решение будет действительным, если выполняется следующее условие: .

Остальные вероятностные характеристики функционирования в стационарном режиме многоканальной СМО с ожиданием и неограниченной очередью определяется по следующим формулам:

среднее число клиентов в очереди на обслуживание

;

среднее число находящихся в системе клиентов (заявок на обслуживание и в очереди)

L_S=L_q+ρ;

средняя продолжительность пребывания клиента (заявки на обслуживание) в очереди

;

средняя продолжительность пребывания клиента в системе

.

Рассмотрим примеры многоканальной системы массового обслуживания с ожиданием.

Пример 9.5. Таможня с тремя таможенными постами (каналами) выполняет пропуск товаров. Поток неправильно заполненных деклараций, для товаров прибывающих на таможню, - пуассоновский и имеет интенсивность λ=2,5 у.е. в сутки, среднее время оформления одной заявки распределено по показательному закону и равно t_об=0,5 часа. Предположим, что другой таможни в округе нет, и, значит, очередь деклараций может расти практически неограниченно.

Требуется вычислить следующие предельные значения вероятностных характеристик системы:

- вероятность состояний системы;

- среднее число заявок в очереди на обслуживание;

- среднее число находящихся в системе заявок;

- среднюю продолжительность пребывания заявки в очереди;

- среднюю продолжительность пребывания заявки в системе.

Решение.

Определим параметр потока обслуживаний

Приведенная интенсивность потока заявок

ρ=λ/μ=2,5/2,0=1,25,

при этом λ/μ ∙с=2,5/2∙3=0,41<1.

Поскольку λ/μ∙с<1, то очередь не растет безгранично и в системе наступает предельный стационарный режим работы.

Вычислим вероятности состояний системы:

;

;

;

;

Вероятность отсутствия очереди на таможне

Р_отк≈Р₀+Р₁+Р₂+Р₃≈0,279+0,394+0,218+0,091=0,937.

Среднее число заявок в очереди на обслуживание

Среднее число находящихся в системе заявок

L_s=L_q+ρ=0,111+1,25=1,361.

Средняя продолжительность пребывания заявки в очереди на обслуживание

часа.

Средняя продолжительность пребывания заявки на таможне (в системе)

часа.

Контрольные вопросы и задания

1. Что называется системой массового обслуживания (СМО)?

2. Изложите классификацию СМО.

3. Какие случайные процессы называют марковскими?

4. Какой поток событий называют простейшим? Каковы его свойства?

5. Что называют интенсивностью потока событий?

6. Каковы характеристики эффективности функционирования СМО?

7. Начертите граф состояний одноканальной СМО с отказами и поясните его смысл.

8. Каковы характеристики одноканальной СМО с ожиданием и ограниченной длиной очереди?

9. Назовите характеристики одноканальной СМО с ожиданием, без ограничения на длину очереди. Запишите выражения для их нахождения.

10. Приведите основные характеристики эффективности многоканальной СМО с отказами, с ожиданием.

11. Специализированный пост диагностики представляет собой одноканальную СМО. Число стоянок для автомобилей, ожидающих проведения диагностики, ограниченно и равно 5. Если все стоянки заняты, то очередной автомобиль, прибывший на диагностику, в очередь на обслуживание не становится. Поток автомобилей, прибывающих на диагностику имеет интенсивность λ=0,57 (автомобиля в час). Время диагностики автомобиля распределено по показательному закону и в среднем равно =1,5 час. Требуется определить вероятностные характеристики поста диагностики, работающего в стационарном режиме.