Многоканальная СМО с ожиданием и ограничением на длину очереди

Пусть СМО имеет не один канал, а несколько (n≥1)[7], на который поступает пуассоновский поток заявок Пвх с интенсивностью Многоканальная СМО с ожиданием и ограничением на длину очереди - student2.ru . Поток обслуживания простейший и имеет интенсивность m. Заявка, поступившая на вход в момент, когда все каналы занят обслуживанием не покидает систему, а становится в очередь и ожидает обслуживания. Далее предполагаем, что в данной системе имеется ограничение на длину очереди, под которой понимается максимальное число мест в очереди, а именно то, что в очереди могут находиться максимум m заявок (m≥1). Поэтому заявка, пришедшая на вход СМО, в момент, когда в очереди уже стоят m заявок, получает отказ и покидает систему необслуженной.

Итак, рассматриваемая СМО относится к системам смешанного типа с ограничением на длину очереди.

Таблица 8.11 - Параметры многоканальной СМО с ожиданием и ограничением на длину очереди

№ п/п Параметры Обозначения, значения, формулы
1. Число каналов обслуживания n≥1
2. Максимальная длина очереди (максимальное число мест в очереди) m≥1
3. Интенсивность входящего простейшего потока заявок Пвх Многоканальная СМО с ожиданием и ограничением на длину очереди - student2.ru , (l не зависит от времени t)
4. Производительность канала – интенсивность простейшего «потока обслуживаний» Поб (среднее число заявок, обслуживаемое каналом за единицу времени при непрерывной работе канала без простоя) Многоканальная СМО с ожиданием и ограничением на длину очереди - student2.ru , (m не зависит от времени t) Многоканальная СМО с ожиданием и ограничением на длину очереди - student2.ru

Таблица 8.12 - Предельные характеристики эффективности функционирования многоканальной СМО с ожиданием и ограничением на длину очереди

№ п/п Предельные характеристики Обозначения, формулы
1. Показатель нагрузки СМО - трафик системы Многоканальная СМО с ожиданием и ограничением на длину очереди - student2.ru
2. Показатель (коэффициент) нагрузки, приходящейся на один канал Многоканальная СМО с ожиданием и ограничением на длину очереди - student2.ru  
3. Вероятности того, что все каналы свободны (вероятность простаивания всей системы) Многоканальная СМО с ожиданием и ограничением на длину очереди - student2.ru
4. Вероятности состояний Многоканальная СМО с ожиданием и ограничением на длину очереди - student2.ru
5. Вероятность отказа заявке Многоканальная СМО с ожиданием и ограничением на длину очереди - student2.ru
6. Вероятность того, что заявка будет принята в СМО Многоканальная СМО с ожиданием и ограничением на длину очереди - student2.ru
7. Относительная пропускная способность СМО (средняя доля обслуженных заявок среди поступивших) Многоканальная СМО с ожиданием и ограничением на длину очереди - student2.ru
8. Абсолютная пропускная способность СМО (среднее число обслуживаемых заявок за единицу времени) Многоканальная СМО с ожиданием и ограничением на длину очереди - student2.ru
9. Среднее число занятых каналов (т.е. среднее число заявок, находящихся под обслуживанием) Многоканальная СМО с ожиданием и ограничением на длину очереди - student2.ru

Продолжение таблицы 8.12

№ п/п Предельные характеристики Обозначения, формулы
10. Среднее число заявок, находящихся в очереди Многоканальная СМО с ожиданием и ограничением на длину очереди - student2.ru
11. Среднее число заявок, находящихся в системе (как в очереди, так и под обслуживанием) Многоканальная СМО с ожиданием и ограничением на длину очереди - student2.ru
12. Среднее время ожидания заявки в очереди Многоканальная СМО с ожиданием и ограничением на длину очереди - student2.ru
13. Среднее время пребывания заявки в СМО Многоканальная СМО с ожиданием и ограничением на длину очереди - student2.ru
14. Среднее время обслуживания одной заявки, относящееся ко всем заявкам, как к обслуженным, так и получившим отказ Многоканальная СМО с ожиданием и ограничением на длину очереди - student2.ru


Задача 8.5

На АЗС имеется четыре колонки. Площадка при станции, на которой машины ожидают заправку, вмещает не более трёх машин одновременно и, если она занята, то очередная машина, прибывшая к станции, в очередь не становится, а уезжает дальше. Машины прибывают на станцию с интенсивностью 0,6 машина в минуту. Интенсивность процесса обслуживания 0,4 машины в минуту. Определить:

· Вероятность того, что все колонки свободны;

· Вероятность отказа в обслуживании;

· Относительную и абсолютную пропускные способности СМО;

· Среднее число машин, находящихся на обслуживании;

· Среднее число машин, ожидающих заправки;

· Среднее число машин на станции;

· Среднее время ожидания машины в очереди;

· Среднее время пребывания машины на АЗС;

· Среднее время обслуживания одной машины, относящееся ко всем машинам, как к обслуженным, так и получившим отказ.

Решение:

В условиях задачи математической моделью АЗС является многоканальная СМО с ожиданием и ограничением на длину очереди, имеющая своими параметрами:

число каналов обслуживания n=4; ограничение на длину очереди m=3;

интенсивность входящего потока Многоканальная СМО с ожиданием и ограничением на длину очереди - student2.ru (маш./мин);

интенсивность потока обслуживаний Многоканальная СМО с ожиданием и ограничением на длину очереди - student2.ru (маш./мин);

показатель нагрузки СМО Многоканальная СМО с ожиданием и ограничением на длину очереди - student2.ru (эрланга);

показатель нагрузки, приходящийся на один канал Многоканальная СМО с ожиданием и ограничением на длину очереди - student2.ru .

Определим вероятность того, что все каналы свободны (вероятность простаивания всей системы):

Многоканальная СМО с ожиданием и ограничением на длину очереди - student2.ru

- то есть в вероятность того, что все колонки свободны равна 0,2213.

Находим вероятность отказа в обслуживании:

Многоканальная СМО с ожиданием и ограничением на длину очереди - student2.ru

- то есть в вероятность отказа в обслуживании (когда заправляются 4 машины и в очереди 3 машины) равна 0,0025.

Определим значение относительной пропускной способности:

Многоканальная СМО с ожиданием и ограничением на длину очереди - student2.ru или 99,75% - то есть в установившемся режиме из 100 машин практически все будут обслужены.

Определим значение абсолютной пропускной способности:

Многоканальная СМО с ожиданием и ограничением на длину очереди - student2.ru - то есть в установившемся режиме абсолютная пропускная способность 0,5985 машин в минуту.

Определим среднее число заявок, находящихся под обслуживанием:

Многоканальная СМО с ожиданием и ограничением на длину очереди - student2.ru - то есть в установившемся режиме среднее число машин, находящихся под обслуживанием равно одной машине.

Определим среднее число заявок в очереди:

Многоканальная СМО с ожиданием и ограничением на длину очереди - student2.ru

Многоканальная СМО с ожиданием и ограничением на длину очереди - student2.ru

- то есть в установившемся режиме среднее число машин, ожидающих заправки равно 0.

Определим среднее число заявок, находящихся в системе:

Многоканальная СМО с ожиданием и ограничением на длину очереди - student2.ru - то есть в установившемся режиме среднее число машин, связанных с АЗС равно двум машинам.

Определим среднее время ожидания заявки в очереди:

Многоканальная СМО с ожиданием и ограничением на длину очереди - student2.ru - то есть в установившемся режиме среднее время ожидания машины в очереди составляет 0,1 минуты.

Определим среднее время пребывания заявки в СМО:

Многоканальная СМО с ожиданием и ограничением на длину очереди - student2.ru - то есть в установившемся режиме среднее время, проведённое машиной на станции, составляет 2,6 минуты.

Определим среднее время обслуживания одной заявки, относящееся ко всем заявкам, как к обслуженным, так и получившим отказ:

Многоканальная СМО с ожиданием и ограничением на длину очереди - student2.ru - то есть в установившемся режиме среднее время обслуживания одной машины относящееся ко всем машинам – и обслуженным, и необслуженным, составляет 2,5 минуты.

Контрольные вопросы

1. Чему равно число состояний системы для n-канальной СМО с ограничением на длину очереди в m заявок?

2. Когда существуют предельные вероятности состояний для одноканальной для n-канальной СМО с ограничением на длину очереди в m заявок?

3. Чему равна вероятность отказа для n-канальной СМО с ограничением на длину очереди в m заявок?

4. Чему равна вероятность того, что очереди нет для n-канальной СМО с ограничением на длину очереди в m заявок?

5. Чему равна вероятность нахождения в очереди r заявок для n-канальной СМО с ограничением на длину очереди в m заявок?

6. Какие номера принимает время ожидания в очереди для n-канальной СМО с ограничением на длину очереди в m заявок?

7. Чему равна абсолютная пропускная способность для n-канальной СМО с ограничением на длину очереди в m заявок?


Наши рекомендации