Многоканальная СМО с ожиданием

Пусть СМО имеет только несколько каналов (n≥1), на которые поступает пуассоновский поток заявок Пвх с интенсивностью Многоканальная СМО с ожиданием - student2.ru . Поток обслуживания простейший и имеет интенсивность m. Заявка, поступившая на вход в момент, когда все каналы заняты обслуживанием не покидает систему, а становится в очередь и ожидает обслуживания. Далее предполагаем, что в данной системе нет ограничений на длину очереди и на время ожидания в очереди. Таким образом, длина очереди станет бесконечной, как и число состояний СМО.

Такая система представляет собой предельный случай СМО, при m®¥.

Если l>nm, т.е. среднее число заявок, поступивших в систему за единицу времени, больше среднего числа обслуживаемых всеми каналами заявок за то же время при непрерывно работающих каналах, то очевидно, что очередь неограниченно растёт. В этом случае предельный режим не устанавливается и предельных вероятностей состояний не существует.

Если l=nm, и при условии, что входящий поток заявок Пвх и поток обслуживаний Поб регулярные, то очереди вообще не будет, и каналы будут обслуживать заявки непрерывно. Но как только или входящий поток заявок Пвх или поток обслуживаний Поб перестаёт быть регулярным и приобретают элементы случайности, очередь начинает расти до бесконечности.

Итак, если l≥nm, т.е. СМО с ожиданием без ограничений на очередь перегружена, то есть нагрузка на один канал Многоканальная СМО с ожиданием - student2.ru , то предельный режим не устанавливается и предельных вероятностей состояний не существует.

Только, если l<nm, или нагрузка на один канал Многоканальная СМО с ожиданием - student2.ru , то предельный режим устанавливается и предельные вероятности состояний существуют.


Таблица 8.13 - Параметры многоканальной СМО с ожиданием

№ п/п Параметры Обозначения, значения, формулы
1. Число каналов обслуживания n≥1
2. Максимальная длина очереди (максимальное число мест в очереди) m®¥
3. Интенсивность входящего простейшего потока заявок Пвх Многоканальная СМО с ожиданием - student2.ru , (l не зависит от времени t)
4. Производительность каждого канала – интенсивность простейшего «потока обслуживаний» Поб (среднее число заявок, обслуживаемое одним каналом за единицу времени при непрерывной его работе без простоя) Многоканальная СМО с ожиданием - student2.ru , (m не зависит от времени t) Многоканальная СМО с ожиданием - student2.ru
5. Соотношения между n, l и m l<nm

Таблица 8.14 - Предельные характеристики эффективности функционирования многоканальной СМО с ожиданием

№ п/п Предельные характеристики Обозначения, формулы
1. Приведённая интенсивность входящего потока - трафик (показатель нагрузки СМО) Многоканальная СМО с ожиданием - student2.ru
2. Показатель (коэффициент) нагрузки, приходящейся на один канал - трафик (показатель нагрузки СМО) Многоканальная СМО с ожиданием - student2.ru
3. Вероятность того, что все каналы свободны (вероятность простаивания всей системы) Многоканальная СМО с ожиданием - student2.ru
4. Вероятности состояний Многоканальная СМО с ожиданием - student2.ru
5. Вероятность отказа заявке Многоканальная СМО с ожиданием - student2.ru
6. Вероятность того, что заявка будет принята в СМО Многоканальная СМО с ожиданием - student2.ru
7. Относительная пропускная способность Многоканальная СМО с ожиданием - student2.ru
8. Абсолютная пропускная способность Многоканальная СМО с ожиданием - student2.ru


Продолжение таблицы 8.14

№ п/п Предельные характеристики Обозначения, формулы
9. Среднее число занятых каналов – среднее число заявок, находящихся под обслуживанием Многоканальная СМО с ожиданием - student2.ru
10. Среднее число заявок, находящихся в очереди Многоканальная СМО с ожиданием - student2.ru
11. Среднее число заявок находящихся в СМО (как в очереди, так и под обслуживанием) Многоканальная СМО с ожиданием - student2.ru
12. Среднее время ожидания заявки в очереди Многоканальная СМО с ожиданием - student2.ru
13. Среднее время пребывания заявки в системе Многоканальная СМО с ожиданием - student2.ru
14. Среднее время обслуживания одной заявки Многоканальная СМО с ожиданием - student2.ru

Задача 8.6

В кассе метрополитена, продающей жетоны на проезд, имеется два окна. Время, которое тратит кассир на обслуживание одного пассажира, в среднем равно 0,5 мин. Пассажиры подходят к кассе в среднем по 3 чел./мин).

Определить вероятности состояний СМО и основные характеристики эффективности функционирования данной кассы в предельном режиме:

· Среднее число занятых кассиров;

· Среднее число пассажиров в очереди;

· Среднее число пассажиров у касс;

· Среднее время, которое пассажир проводит в очереди;

· Среднее время, которое пассажир тратит на приобретение жетона.

Решение:

В условиях задачи математической моделью кассы метрополитена является многоканальная СМО с ожиданием без ограничений на длину очереди и на время ожидания, имеющая своими параметрами:

число каналов n=2;

интенсивность входящего потока Многоканальная СМО с ожиданием - student2.ru (чел./мин);

среднее время обслуживания Многоканальная СМО с ожиданием - student2.ru =0,5 мин;

интенсивность потока обслуживаний Многоканальная СМО с ожиданием - student2.ru (чел./мин);

показатель нагрузки СМО Многоканальная СМО с ожиданием - student2.ru (эрланга);

показатель нагрузки, приходящийся на один канал Многоканальная СМО с ожиданием - student2.ru (эрланга).

Так как l=3<nm=4, или нагрузка на один канал y=0,75<1, то предельный режим устанавливается и предельные вероятности состояний существуют.

Определим вероятность того, что все каналы свободны (вероятность простаивания всей системы):

Многоканальная СМО с ожиданием - student2.ru

- то есть в вероятность того, что оба кассира свободны или того, что у кассы нет ни одного пассажира равна 0,1429.

Определим вероятность состояний СМО:

Многоканальная СМО с ожиданием - student2.ru

Многоканальная СМО с ожиданием - student2.ru

- то есть в вероятности того, что у касс:

1 пассажир равна 0,2143;

2 пассажира равна 0,1607;

3 пассажира равна 0,1205;

4 пассажира равна 0,0904 и т.д.

Аналогично можно рассчитать следующие вероятности (занесём их в таблицу 8.15):

Таблица 8.1

Вероятности состояний Рассчитанные значения   Вероятности состояний Рассчитанные значения
р0 0,1429   р11 0,0121
р1 0,2143   р12 0,0091
р2 0,1607   р13 0,0068
р3 0,1205   р14 0,0051
р4 0,0904   р15 0,0038
р5 0,0678   р16 0,0029
р6 0,0509   р17 0,0021
р7 0,0381   р18 0,9973
р8 0,0286   р19 0,0012
р9 0,0215   р20 0,0009
р10 0,0161   итого 0,9973®1

Определим число занятых каналов – среднее число заявок, находящихся под обслуживанием:

Многоканальная СМО с ожиданием - student2.ru - то есть в установившемся режиме среднее число занятых кассиров или среднее число пассажиров под обслуживанием составляет 2 человека.

Определим среднее число заявок в очереди:

Многоканальная СМО с ожиданием - student2.ru

- то есть в установившемся режиме среднее число пассажиров в очереди равно двум.

Определим среднее число заявок, находящихся в системе:

Многоканальная СМО с ожиданием - student2.ru - то есть в установившемся режиме среднее число пассажиров у касс равно трём.

Определим среднее время ожидания заявки в очереди:

Многоканальная СМО с ожиданием - student2.ru - то есть в установившемся режиме среднее время ожидания пассажира в очереди составляет 0,6 минуты.

Определим среднее время пребывания заявки в СМО:

Многоканальная СМО с ожиданием - student2.ru - то есть в установившемся режиме среднее время, которое тратит пассажир на приобретение билета, составляет 1,1 минуты.

Итак, рассмотрены некоторые виды СМО. В рекомендуемой литературе следует ознакомиться самостоятельно и разобрать задачи по другим СМО.

Контрольные вопросы

1. Чему равно число состояний для n-канальной СМО с ожиданием?

2. Когда существуют предельные вероятности состояний для n-канальной СМО с ожиданием?

3. Чему равно среднее число заявок под обслуживанием n-канальной СМО с ожиданием?

4. Чему равно среднее число занятых каналов для n-канальной СМО с ожиданием?

5. При каких условиях вероятность отказа равна нулю для n-канальной СМО с ожиданием?

6. При каких условиях вероятность того, что пришедшая заявка будет принята в систему равна 1 для n-канальной СМО с ожиданием?

7. Чему равна абсолютная пропускная способность для n-канальной СМО с ожиданием?

Рекомендации по оформлению контрольной работы

Выбор варианта для решения задач выбирается исходя из последней цифры зачетной книжки. Решить необходимо 4 задачи. Задачи необходимо решить в рабочей тетради самостоятельно. Решение представить преподавателю во время семестра.

На практических и лабораторных занятиях решения задач автоматизируются с помощью пакета прикладных программ: MathCAD, MathLab, MS Excel.

Отчет представляется в виде файла проекта MathCAD, MathLab, MS Excel.

Задания для контрольной работы

Задача № 1

Одноканальная телефонная линия. Заявка-вызов, поступившая в момент, когда линия занята, получает отказ. Простейший поток заявок поступает с интенсивностью Многоканальная СМО с ожиданием - student2.ru звонков/ч. Время обслуживания заявки есть случайная величина, которая подчиняется экспоненциальному закону распределения. Средняя продолжительность разговора Многоканальная СМО с ожиданием - student2.ru мин. Изобразить структуру СМО и размеченный граф состояний, найти предельные вероятности состояний. Определить числовые характеристики и показатели эффективности работы системы.

вариант
Многоканальная СМО с ожиданием - student2.ru
Многоканальная СМО с ожиданием - student2.ru

Задача № 2

Многоканальная телефонная линия. Заявка-вызов, поступившая в момент, когда все n канала заняты, получает отказ. Простейший поток заявок поступает с интенсивностью Многоканальная СМО с ожиданием - student2.ru звонков/ч. Время обслуживания заявки есть случайная величина, которая подчиняется экспоненциальному закону распределения. Средняя продолжительность разговора Многоканальная СМО с ожиданием - student2.ru мин. Изобразить структуру СМО и размеченный граф состояний, найти предельные вероятности состояний. Определить числовые характеристики и показатели эффективности работы системы.

вариант
Многоканальная СМО с ожиданием - student2.ru
Многоканальная СМО с ожиданием - student2.ru
n

Задача №3

Маленький магазин с одним продавцом. Предполагается, что простейший поток покупателей поступает с интенсивностью Многоканальная СМО с ожиданием - student2.ru человек/ч. Время обслуживания одного покупателя есть случайная величина, которая подчиняется экспоненциальному закону распределения с параметром Многоканальная СМО с ожиданием - student2.ru человек/ч. При занятости продавца образуется очередь размером m. Изобразить размеченный граф состояний, найти предельные вероятности состояний. Определить числовые характеристики и показатели эффективности работы системы.

Как измениться эффективность работы системы, если в магазине будут работать 2 продавца.

вариант
Многоканальная СМО с ожиданием - student2.ru
Многоканальная СМО с ожиданием - student2.ru
m

Задача №4

На склад для разгрузки поступает простейший поток грузовиков с интенсивностью Многоканальная СМО с ожиданием - student2.ru грузовиков/ч. Время обслуживания одного грузовика есть случайная величина, которая подчиняется экспоненциальному закону распределения. Средняя продолжительность разгрузки одного грузовика Многоканальная СМО с ожиданием - student2.ru мин. Количество терминалов для разгрузки n. Размер стоянки ограничен числом m. Изобразить структуру СМО и размеченный граф состояний, найти предельные вероятности состояний. Определить числовые характеристики и показатели эффективности работы системы.

вариант
Многоканальная СМО с ожиданием - student2.ru
Многоканальная СМО с ожиданием - student2.ru
n
m

Список литературы

Основная литература

1. Советов Б. Я. Моделирование систем : учеб. пособие / Б. Я. Советов, С. А. Яковлев. – М. : Высшая школа, 2009. – 344 с.

2. Вентцель Е.С, Овчаров Л.А. Теория вероятностей и ее инженерные приложения. / Е.С. Вентцель, Л.А. Овчаров. – М.: Высш.шк., 2008. – 480 с.

3. Тихоненко О. М. Модели массового обслуживания в информационных системах: Учебное пособие для вузов / О.М. Тихоненко – Минск: «Технопринт», 2003. – 326 с.

Дополнительная литература

1. Клейнрок Л. Теория массового обслуживания. Пер. с англ. – М.: Машиностроение, 1979. – 254 с.

2. Бусленко Н. П. Моделирование сложных систем : учеб. пособие / Н. П. Бусленко. – М. : Наука, 1968. – 356 с.

[1] Теоретически в общем случае система определяется как целостное множество взаимосвязанных элементов, которое нельзя расчленить на независимые подмножества.

[2] Потоком событий (в данном случае, заявок) называют последовательность событий, наступающих одно за другим в какие-то заранее неизвестные, случайные моменты времени.

[3] Случайным процессом (или случайной функцией) называется соответствие, при котором каждому значению аргумента (в данном случае — моменту из промежутка времени проводимого опыта) ставится в соответствие случайная величина (в данном случае — состояние СМО).

[4] Случайный процесс, протекающий в СМО, называется марковским (или процессом без последействия, или процессом без памяти), если вероятность любого состояния СМО в будущем зависит только от ее состояния в настоящем и не зависит от.ее состояний в прошлом.

[5] Поток событий, обладающий свойствами отсутствия последействия (для любых двух непересекающихся промежутков времени число событий, наступающих за один из них, не зависит от числа событий, наступающих за другой) и ординарностью (вероятность наступления за элементарный — малый промежуток времени более одного событий пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью наступления за этот промежуток времени одного события), называется пуасооновским.

[6] Вообще, для многоканальной СМО n≥2, под условием n≥1 будем понимать, что при случае n=1 одноканальная СМО может быть рассмотрена, как частный случай многоканальной СМО и вычисления по ниже приведённым формулам не приведут к ошибкам, но лучше работать с приведёнными выше формулами для одноканальная СМО, что проще.

[7] Вообще, для многоканальной СМО n≥2, под условием n≥1 будем понимать, что при случае n=1 одноканальная СМО может быть рассмотрена, как частный случай многоканальной СМО и вычисления по ниже приведённым формулам не приведут к ошибкам, но лучше работать с приведёнными выше формулами для одноканальная СМО.

Наши рекомендации