Многоканальная СМО с неограниченной очередью

Имеется n-канальная СМО с неограниченной очередью. Поток заявок, поступающих в СМО, имеет интенсивность Многоканальная СМО с неограниченной очередью - student2.ru , а поток обслуживаний – интенсивность Многоканальная СМО с неограниченной очередью - student2.ru . Необходимо найти предельные вероятности состояний СМО и показатели ее эффективности.

Система может находиться в одном из состояний s0, s1, s2,…,sk,…,sn, нумеруемых по числу заявок, находящихся в СМО: s0 – в системе нет заявок (все каналы свободны); s1 – занят один канал, остальные свободны; s2 – заняты два канала, остальные свободны;…; sk – занято k каналов, остальные свободны;…; sn – заняты все n каналов (очереди нет); sn+1 – заняты все n каналов, в очереди одни заявка;…; sn+r – заняты все n каналов, r заявок в очереди.

Граф состояний приведен на рис. 7

Многоканальная СМО с неограниченной очередью - student2.ru

  … …
Многоканальная СМО с неограниченной очередью - student2.ru

В отличие от одноканальной СМО интенсивность потока обслуживаний не остается постоянной, а по мере увеличения числа заявок в СМО от 0 до n увеличивается от величины Многоканальная СМО с неограниченной очередью - student2.ru до Многоканальная СМО с неограниченной очередью - student2.ru , т.к. соответственно увеличивается число каналов обслуживания. При числе заявок больше, чем n, интенсивность потока обслуживаний сохраняется равной Многоканальная СМО с неограниченной очередью - student2.ru . Если в системе n каналов обслуживания с интенсивностью Многоканальная СМО с неограниченной очередью - student2.ru , интенсивность входящего потока равна Многоканальная СМО с неограниченной очередью - student2.ru , то, чтобы очередь не стала бесконечно большой, необходимо выполнение условия стационарности

Многоканальная СМО с неограниченной очередью - student2.ru

Это условие означает, что суммарная скорость обслуживания всех каналов системы Многоканальная СМО с неограниченной очередью - student2.ru должна превосходить скорость поступления требований Многоканальная СМО с неограниченной очередью - student2.ru , иначе система не справится с обслуживанием потока.

Данное условие характерно только для систем с очередью в отличие от систем с отказом, т.к. все поступившие требования должны получить обслуживание.

Используя формулы (11)для процесса гибели и размножения, можно получить формулы для предельных вероятностей состояний n-канальной СМО с неограниченной очередью

Многоканальная СМО с неограниченной очередью - student2.ru (31)

Многоканальная СМО с неограниченной очередью - student2.ru ,…, Многоканальная СМО с неограниченной очередью - student2.ru ,…, Многоканальная СМО с неограниченной очередью - student2.ru (32)

Многоканальная СМО с неограниченной очередью - student2.ru ,…, Многоканальная СМО с неограниченной очередью - student2.ru

Вероятность того, что в системе заняты обслуживанием все n каналы, определяется по формуле

Многоканальная СМО с неограниченной очередью - student2.ru (33)

Для n-канальной СМО с неограниченной очередью, используя прежние приемы, можно найти:

- среднее число занятых каналов

Многоканальная СМО с неограниченной очередью - student2.ru ,

- среднее число заявок в очереди

Многоканальная СМО с неограниченной очередью - student2.ru ,

- среднее число заявок в системе

Многоканальная СМО с неограниченной очередью - student2.ru ,

- среднее время обслуживания заявки

Многоканальная СМО с неограниченной очередью - student2.ru ,

- среднее время ожидания обслуживания

Многоканальная СМО с неограниченной очередью - student2.ru .

Полученные выше формулы значительно упрощаются в случае одно – или двухканальной системы

При n=1

Многоканальная СМО с неограниченной очередью - student2.ru , т.к. Многоканальная СМО с неограниченной очередью - student2.ru

Многоканальная СМО с неограниченной очередью - student2.ru ; Многоканальная СМО с неограниченной очередью - student2.ru

При n=2

Многоканальная СМО с неограниченной очередью - student2.ru , т.к. Многоканальная СМО с неограниченной очередью - student2.ru

Многоканальная СМО с неограниченной очередью - student2.ru , Многоканальная СМО с неограниченной очередью - student2.ru

Пример 7. К двум продавцам поступает на обслуживание поток покупателей с интенсивностью 220 человек в час. Каждый из продавцов затрачивает на обслуживание покупателя в среднем 30 секунд. Определите среднюю длину очереди и показатели занятости продавцов.

Решение. Многоканальная СМО с неограниченной очередью - student2.ru , Многоканальная СМО с неограниченной очередью - student2.ru , Многоканальная СМО с неограниченной очередью - student2.ru

Многоканальная СМО с неограниченной очередью - student2.ru – интенсивность загрузки

Многоканальная СМО с неограниченной очередью - student2.ru – среднее число занятых обслуживанием каналов

Многоканальная СМО с неограниченной очередью - student2.ru – средняя длина очереди

Многоканальная СМО с неограниченной очередью - student2.ru – доля времени простоя продавцов

Многоканальная СМО с неограниченной очередью - student2.ru – доля времени занятости одного из двух продавцов

Многоканальная СМО с неограниченной очередью - student2.ru – доля времени занятости двух продавцов

Пример 8. В универсаме к узлу расчета поступает поток покупателей с интенсивностью Многоканальная СМО с неограниченной очередью - student2.ru . Средняя продолжительность обслуживания контролером-кассиром одного покупателя Многоканальная СМО с неограниченной очередью - student2.ru . Определить минимальное количество контролеров-кассиров nмин, при котором очередь не будет расти до бесконечности и соответствующие характеристики обслуживания при n=nмин.

Решение. По условию Многоканальная СМО с неограниченной очередью - student2.ru , Многоканальная СМО с неограниченной очередью - student2.ru . Очередь не будет возрастать до бесконечности при условии Многоканальная СМО с неограниченной очередью - student2.ru , т.е. при Многоканальная СМО с неограниченной очередью - student2.ru . Таким образом, минимальное количество контролеров-кассиров nmin=3.

Вероятность того, что в узле расчета отсутствуют покупатели, по формуле (31)

Многоканальная СМО с неограниченной очередью - student2.ru ,

т.е. в среднем 2,5% времени контролеры-кассиры будут простаивать.

Среднее число покупателей, находящихся в очереди равно

Многоканальная СМО с неограниченной очередью - student2.ru

Среднее время ожидания в очереди

Многоканальная СМО с неограниченной очередью - student2.ru

Среднее число покупателей в узле расчета

Многоканальная СМО с неограниченной очередью - student2.ru

Среднее время нахождения покупателей в узле расчета

Многоканальная СМО с неограниченной очередью - student2.ru

Среднее число контролеров-кассиров, занятых обслуживанием покупателей

Многоканальная СМО с неограниченной очередью - student2.ru

Отметим, что для СМО с неограниченной очередью при Многоканальная СМО с неограниченной очередью - student2.ru любая заявка, пришедшая в систему, будет обслужена, т.е. вероятность отказа Ротк=0, относительная пропускная способность Q=1, а абсолютная пропускная способность равна интенсивности входящего потока заявок, т.е. Многоканальная СМО с неограниченной очередью - student2.ru .

Для нашей задачи абсолютная пропускная способность узла расчета A=1,35 1/мин или 81 1/ч, т.е. 81 покупатель в час.

Анализ характеристик обслуживания свидетельствует о значительной перегрузке узла расчета при наличии трех контролеров-кассиров.


Наши рекомендации