Дивергенция и ротор векторного поля. Оператор Гамильтона

Глава 4. Элементы теории поля

Скалярные и векторные поля.

Поверхность уровня. Векторные линии

Скалярное поле

Функция U(r) Дивергенция и ротор векторного поля. Оператор Гамильтона - student2.ru , где r= Дивергенция и ротор векторного поля. Оператор Гамильтона - student2.ru i Дивергенция и ротор векторного поля. Оператор Гамильтона - student2.ru Дивергенция и ротор векторного поля. Оператор Гамильтона - student2.ru j Дивергенция и ротор векторного поля. Оператор Гамильтона - student2.ru k – радиус-вектор произвольной точки пространства Дивергенция и ротор векторного поля. Оператор Гамильтона - student2.ru , называется скалярным полем.

Наряду с определенным выше скалярным полем рассматривают плоское скалярное поле, т. е. функцию U(r) Дивергенция и ротор векторного поля. Оператор Гамильтона - student2.ru , где r = Дивергенция и ротор векторного поля. Оператор Гамильтона - student2.ru i Дивергенция и ротор векторного поля. Оператор Гамильтона - student2.ru Дивергенция и ротор векторного поля. Оператор Гамильтона - student2.ru j – радиус-вектор произвольной точки плоскости.

Поверхностью уровня скалярного поля U(r) Дивергенция и ротор векторного поля. Оператор Гамильтона - student2.ru называется множество точек пространства Дивергенция и ротор векторного поля. Оператор Гамильтона - student2.ru , удовлетворяющих уравнению Дивергенция и ротор векторного поля. Оператор Гамильтона - student2.ru , где с – произвольная постоянная.

Аналогично определяется понятие линии уровня плоского скалярного поля U(r) Дивергенция и ротор векторного поля. Оператор Гамильтона - student2.ru .

Векторное поле

Вектор-функция F(r) Дивергенция и ротор векторного поля. Оператор Гамильтона - student2.ru i Дивергенция и ротор векторного поля. Оператор Гамильтона - student2.ru j Дивергенция и ротор векторного поля. Оператор Гамильтона - student2.ru k называется векторным полем.

Вектор-функция F(r) Дивергенция и ротор векторного поля. Оператор Гамильтона - student2.ru i Дивергенция и ротор векторного поля. Оператор Гамильтона - student2.ru j называется плоским векторным полем.

Линии r Дивергенция и ротор векторного поля. Оператор Гамильтона - student2.ru , касательные к которым в каждой точке их совпадают с направлением векторного поля F Дивергенция и ротор векторного поля. Оператор Гамильтона - student2.ru, называются векторными линиями этого поля.

Аналогичным образом определяется понятие векторных линий плоского векторного поля.

Градиент

Градиентом скалярного поля Дивергенция и ротор векторного поля. Оператор Гамильтона - student2.ru называется векторное поле grad Дивергенция и ротор векторного поля. Оператор Гамильтона - student2.ru i Дивергенция и ротор векторного поля. Оператор Гамильтона - student2.ru j Дивергенция и ротор векторного поля. Оператор Гамильтона - student2.ru k Дивергенция и ротор векторного поля. Оператор Гамильтона - student2.ru i Дивергенция и ротор векторного поля. Оператор Гамильтона - student2.ru j Дивергенция и ротор векторного поля. Оператор Гамильтона - student2.ru k.

Градиент скалярного поля в каждой точке перпендикулярен поверхностям уровня этого скалярного поля. Кроме того, градиент скалярного поля Дивергенция и ротор векторного поля. Оператор Гамильтона - student2.ru показывает направление наибольшего роста функции Дивергенция и ротор векторного поля. Оператор Гамильтона - student2.ru .

Величиной градиента называют скалярное поле

|grad Дивергенция и ротор векторного поля. Оператор Гамильтона - student2.ru | Дивергенция и ротор векторного поля. Оператор Гамильтона - student2.ru

Пример. Найти величину и направление градиента скалярного поля Дивергенция и ротор векторного поля. Оператор Гамильтона - student2.ru Дивергенция и ротор векторного поля. Оператор Гамильтона - student2.ru в точке Дивергенция и ротор векторного поля. Оператор Гамильтона - student2.ru .

Находим частные производные функции Дивергенция и ротор векторного поля. Оператор Гамильтона - student2.ru :

Дивергенция и ротор векторного поля. Оператор Гамильтона - student2.ru , Дивергенция и ротор векторного поля. Оператор Гамильтона - student2.ru , Дивергенция и ротор векторного поля. Оператор Гамильтона - student2.ru .

Таким образом, grad Дивергенция и ротор векторного поля. Оператор Гамильтона - student2.ruiДивергенция и ротор векторного поля. Оператор Гамильтона - student2.rujДивергенция и ротор векторного поля. Оператор Гамильтона - student2.ruk. Подставляя в последнее равенство координаты точки А, получим:

grad Дивергенция и ротор векторного поля. Оператор Гамильтона - student2.rui – jДивергенция и ротор векторного поля. Оператор Гамильтона - student2.ru.

Величина градиента при этом будет

|grad Дивергенция и ротор векторного поля. Оператор Гамильтона - student2.ru | Дивергенция и ротор векторного поля. Оператор Гамильтона - student2.ru .

Контрольные вопросы:

  1. Дайте определение скалярного поля.
  2. Что называется поверхностью уровня скалярного поля Дивергенция и ротор векторного поля. Оператор Гамильтона - student2.ru ?
  3. Дайте определение векторного поля.
  4. Что называют векторными линиями поля FДивергенция и ротор векторного поля. Оператор Гамильтона - student2.ru?
  5. Дайте определение градиента скалярного поля Дивергенция и ротор векторного поля. Оператор Гамильтона - student2.ru .

Дивергенция и ротор векторного поля. Оператор Гамильтона

Дивергенция и ротор

Дивергенцией векторного поля FДивергенция и ротор векторного поля. Оператор Гамильтона - student2.ruназывается скалярное поле, определяемое равенством

div F Дивергенция и ротор векторного поля. Оператор Гамильтона - student2.ru.

Ротором векторного поля FДивергенция и ротор векторного поля. Оператор Гамильтона - student2.ruназывается векторное поле, определяемое следующим образом:

rot F Дивергенция и ротор векторного поля. Оператор Гамильтона - student2.ru.

Для удобства запоминания принята формальная запись:

rot F Дивергенция и ротор векторного поля. Оператор Гамильтона - student2.ru,

где «умножение» символов дифференцирования на одну из функций понимается как взятие соответствующей частной производной зтой функции.

Физический смысл ротора: если вектор-функция v является полем скоростей твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной точки, то с точностью до числового множителя ротор векторного поля v представляет собой мгновенную угловую скорость w этого вращения:w Дивергенция и ротор векторного поля. Оператор Гамильтона - student2.ru rot v.

Ротор векторного поля называют иногда вихрем векторного поля.

Оператор Гамильтона

Оператор Гамильтона или оператор Дивергенция и ротор векторного поля. Оператор Гамильтона - student2.ru (набла) определяется формулой

Дивергенция и ротор векторного поля. Оператор Гамильтона - student2.ru i Дивергенция и ротор векторного поля. Оператор Гамильтона - student2.ru j Дивергенция и ротор векторного поля. Оператор Гамильтона - student2.ru k.

Применение этого оператора к скалярным и векторным полям с формальной точки зрения соответствует операции «умножения» на вектор с координатами Дивергенция и ротор векторного поля. Оператор Гамильтона - student2.ru :

Дивергенция и ротор векторного поля. Оператор Гамильтона - student2.ru i Дивергенция и ротор векторного поля. Оператор Гамильтона - student2.ru j Дивергенция и ротор векторного поля. Оператор Гамильтона - student2.ru k,

Дивергенция и ротор векторного поля. Оператор Гамильтона - student2.ru F Дивергенция и ротор векторного поля. Оператор Гамильтона - student2.ru,

Дивергенция и ротор векторного поля. Оператор Гамильтона - student2.ru F Дивергенция и ротор векторного поля. Оператор Гамильтона - student2.ru.

Нетрудно заметить, что стоящие в правых частях последних трех равенств выражения суть градиент, дивергенция и ротор полей:

Дивергенция и ротор векторного поля. Оператор Гамильтона - student2.ru grad Дивергенция и ротор векторного поля. Оператор Гамильтона - student2.ru , Дивергенция и ротор векторного поля. Оператор Гамильтона - student2.ru F Дивергенция и ротор векторного поля. Оператор Гамильтона - student2.rudiv F, Дивергенция и ротор векторного поля. Оператор Гамильтона - student2.ru F Дивергенция и ротор векторного поля. Оператор Гамильтона - student2.ru rot F.

Пример. Вычислить дивергенцию и ротор векторного поля

F Дивергенция и ротор векторного поля. Оператор Гамильтона - student2.ru i Дивергенция и ротор векторного поля. Оператор Гамильтона - student2.ru j Дивергенция и ротор векторного поля. Оператор Гамильтона - student2.ru k.

По определению, div F Дивергенция и ротор векторного поля. Оператор Гамильтона - student2.ru. В нашем случае Дивергенция и ротор векторного поля. Оператор Гамильтона - student2.ru , Дивергенция и ротор векторного поля. Оператор Гамильтона - student2.ru , Дивергенция и ротор векторного поля. Оператор Гамильтона - student2.ru . Отсюда находим Дивергенция и ротор векторного поля. Оператор Гамильтона - student2.ru , Дивергенция и ротор векторного поля. Оператор Гамильтона - student2.ru , Дивергенция и ротор векторного поля. Оператор Гамильтона - student2.ru . Следовательно,

div F Дивергенция и ротор векторного поля. Оператор Гамильтона - student2.ru.

Вычислим ротор поля F:

rot F Дивергенция и ротор векторного поля. Оператор Гамильтона - student2.ru i Дивергенция и ротор векторного поля. Оператор Гамильтона - student2.ru j Дивергенция и ротор векторного поля. Оператор Гамильтона - student2.ru k Дивергенция и ротор векторного поля. Оператор Гамильтона - student2.ru i Дивергенция и ротор векторного поля. Оператор Гамильтона - student2.ru j Дивергенция и ротор векторного поля. Оператор Гамильтона - student2.ru

Дивергенция и ротор векторного поля. Оператор Гамильтона - student2.ru k Дивергенция и ротор векторного поля. Оператор Гамильтона - student2.ru.

Контрольные вопросы:

  1. Дайте определение дивергенции векторного поля F Дивергенция и ротор векторного поля. Оператор Гамильтона - student2.ru .
  2. Дайте определение ротора векторного поля F Дивергенция и ротор векторного поля. Оператор Гамильтона - student2.ru.
  3. Какой формулой определяется оператор Гамильтона?

Поток векторного поля

Пусть в области Дивергенция и ротор векторного поля. Оператор Гамильтона - student2.ru задано некоторое векторное поле F Дивергенция и ротор векторного поля. Оператор Гамильтона - student2.ru i Дивергенция и ротор векторного поля. Оператор Гамильтона - student2.ru j Дивергенция и ротор векторного поля. Оператор Гамильтона - student2.ru k, где Дивергенция и ротор векторного поля. Оператор Гамильтона - student2.ru , Дивергенция и ротор векторного поля. Оператор Гамильтона - student2.ru , Дивергенция и ротор векторного поля. Оператор Гамильтона - student2.ru – непрерывно дифференцируемые в области Дивергенция и ротор векторного поля. Оператор Гамильтона - student2.ru функции. Пусть Дивергенция и ротор векторного поля. Оператор Гамильтона - student2.ru – гладкая ориентируемая поверхность, на которой выбрана определенная сторона, задаваемая единичной нормалью n Дивергенция и ротор векторного поля. Оператор Гамильтона - student2.ruк этой поверхности.

Потоком векторного поля F через поверхность S в направлении единичной нормали n называют поверхностный интеграл первого рода:

П Дивергенция и ротор векторного поля. Оператор Гамильтона - student2.ru . (1)

Поверхностный интеграл первого рода в формуле (1) связан с поверхностным интегралом второго рода равенством:

П Дивергенция и ротор векторного поля. Оператор Гамильтона - student2.ru , (2)

которое дает еще один способ вычисления потока.

Физический смысл потока: если вектор-функция F есть поле скоростей текущей жидкости, то поток П этого векторного поля через поверхность S общему количеству жидкости, протекающей через S за единицу времени.

Наши рекомендации