Дивергенция векторного поля

Теория поля

Скалярное и векторное поля

В некоторых профилирующих инженерных дисциплинах (гидромеханика, теплотехника, радиотехника и электротехника) широко используются элементы математической теории поля. Само понятие поля заимствовано из механики и физики. Его смысл заключается в том, что каждой точке пространства или некоторой его области отнесено значение некоторой величины. Поле может быть скалярным или векторным в зависимости от характера рассматриваемой величины. Например, при исследовании неравномерно нагретого твердого тела каждой его точке отнесено значение скалярной величины – температуры и таким образом определено скалярное поле температур. Рассмотрение потока жидкости или газа приводит к векторному полю скоростей частиц жидкости. Другими примерами векторных полей является электрическое поле точечного заряда, гравитационное поле, поле магнитной напряженности и так далее.

При математическом описании поле величины Дивергенция векторного поля - student2.ru определяется функцией переменных Дивергенция векторного поля - student2.ru , Дивергенция векторного поля - student2.ru и Дивергенция векторного поля - student2.ru :

Дивергенция векторного поля - student2.ru (скалярное поле, числовая функция),

Дивергенция векторного поля - student2.ru (векторное поле).

В случае зависимости от двух переменных поле называют плоским. Понятие нестационарного поля предполагает наличие дополнительной переменной – времени Дивергенция векторного поля - student2.ru : Дивергенция векторного поля - student2.ru .

Рассмотрим скалярное поле, заданное функцией Дивергенция векторного поля - student2.ru . Наглядное представление скалярного поля получается с помощью поверхностей уровня, в точках которых величина Дивергенция векторного поля - student2.ru принимает постоянное значение и которые имеют уравнения Дивергенция векторного поля - student2.ru . Важной характеристикой поля является вектор градиента

Дивергенция векторного поля - student2.ru . (1)

Вектор Дивергенция векторного поля - student2.ru направлен по нормали к поверхности уровня в сторону наибольшего возрастания функции Дивергенция векторного поля - student2.ru . Через градиент выражается скорость изменения величины Дивергенция векторного поля - student2.ru в направлении вектора Дивергенция векторного поля - student2.ru по формуле

Дивергенция векторного поля - student2.ru . (2)

Наглядное представление о векторном поле Дивергенция векторного поля - student2.ru дают векторные линии, которыми называют кривые, в точках которых касательные направлены в сторону вектора Дивергенция векторного поля - student2.ru . Если Дивергенция векторного поля - student2.ru – радиус-вектор линии, то вектор Дивергенция векторного поля - student2.ru направлен по касательной к ней. Тогда вектор Дивергенция векторного поля - student2.ru также направлен по касательной к векторной линии. Это значит (по определению векторной линии), что вектора Дивергенция векторного поля - student2.ru и Дивергенция векторного поля - student2.ru параллельны и поэтому будет

Дивергенция векторного поля - student2.ru . (3)

Равенства (3) представляют собой систему дифференциальных уравнений и дают возможность определить векторные линии поля.

Пример 1. Скалярное поле Дивергенция векторного поля - student2.ru имеет Дивергенция векторного поля - student2.ru . Для векторного поля градиента из соотношений (3) получим

Дивергенция векторного поля - student2.ru ,

откуда Дивергенция векторного поля - student2.ru или Дивергенция векторного поля - student2.ru ;

из уравнения Дивергенция векторного поля - student2.ru находим Дивергенция векторного поля - student2.ru . Таким образом векторное поле Дивергенция векторного поля - student2.ru имеет векторные линии, которые получаются при пересечении цилиндрических поверхностей Дивергенция векторного поля - student2.ru плоскостями Дивергенция векторного поля - student2.ru .

Поток векторного поля

Для векторного поля Дивергенция векторного поля - student2.ru произвольной природы интеграл Дивергенция векторного поля - student2.ru называют потоком векторного поля. Поток – величина скалярная. Его наглядный смысл заключается в том, что поток пропорционален числу векторных линий, проходящих через поверхность Дивергенция векторного поля - student2.ru .

Поток выражается через интеграл, который называют поверхностным интегралом второго рода. Вычисление данного интеграла сводится к двойному интегрированию.

Пусть поверхность Дивергенция векторного поля - student2.ru задана уравнением Дивергенция векторного поля - student2.ru Дивергенция векторного поля - student2.ru и Дивергенция векторного поля - student2.ru , где Дивергенция векторного поля - student2.ru – проекция поверхности Дивергенция векторного поля - student2.ru на плоскость ХОУ. В этом случае нормаль к поверхности имеет координаты Дивергенция векторного поля - student2.ru и Дивергенция векторного поля - student2.ru .

Дивергенция векторного поля - student2.ru , (5)

где Дивергенция векторного поля - student2.ru .

Примеры. 1. Требуется определить поток векторного поля

Дивергенция векторного поля - student2.ru

через часть плоскости Дивергенция векторного поля - student2.ru , лежащую в первом октанте.

Дивергенция векторного поля - student2.ru

Рис. 6.3. Рис. 6.4.

Из уравнения плоскости находим:

Дивергенция векторного поля - student2.ru , Дивергенция векторного поля - student2.ru , Дивергенция векторного поля - student2.ru , Дивергенция векторного поля - student2.ru .

Согласно формуле (5) запишем

Дивергенция векторного поля - student2.ru

Дивергенция векторного поля - student2.ru .

Расстановка пределов интегрирования произведена в соответствии с рисунком 6.3.

2. При вычислении потока векторного поля Дивергенция векторного поля - student2.ru через поверхность цилиндра, показанного на рис. 6.4, разбиваем интеграл в формуле (6.4) на три части

Дивергенция векторного поля - student2.ru , (6.6)

где Дивергенция векторного поля - student2.ru , Дивергенция векторного поля - student2.ru , Дивергенция векторного поля - student2.ru – соответственно боковая поверхность, верхнее и нижнее основание цилиндра. Так как Дивергенция векторного поля - student2.ru , то скалярное произведение Дивергенция векторного поля - student2.ru равно проекции вектора Дивергенция векторного поля - student2.ru (радиус-вектор точек поверхности) на направление нормали. Имеем

Дивергенция векторного поля - student2.ru – для точек боковой поверхности,

Дивергенция векторного поля - student2.ru – верхнего основания,

Дивергенция векторного поля - student2.ru – нижнего основания цилиндра.

После подстановки в формулу (6.6) получим

Дивергенция векторного поля - student2.ru .

Дивергенция векторного поля

Это отношение характеризует среднюю плотность источников или стоков в единице объёма. Его предел при Дивергенция векторного поля - student2.ru , когда тело стягивается в точку Дивергенция векторного поля - student2.ru называют дивергенцией векторного поля в точке М

Дивергенция векторного поля - student2.ru . (7)

Таким образом, вводится понятие дивергенции, которое является количественной характеристикой источников и стоков векторного поля.

Установим для дивергенции более удобное выражение чем (7). Для этого воспользуемся формулой Остроградского - Гаусса

Дивергенция векторного поля - student2.ru , (8)

где Дивергенция векторного поля - student2.ru , V – объём, ограниченный замкнутой поверхностью Дивергенция векторного поля - student2.ru . С учетом формулы (6.8) получим

Дивергенция векторного поля - student2.ru . (9)

Выражение (9) позволяет достаточно просто вычислить значение дивергенции, а затем по её знаку определить наличие источников или стоков в точках поля:

Дивергенция векторного поля - student2.ru - в точке М нет ни источников, ни стоков,

Дивергенция векторного поля - student2.ru - имеется источник поля,

Дивергенция векторного поля - student2.ru - присутствует сток.

Наши рекомендации