Теорема гаусса в дифференциальной форме. дивергенция векторного поля

Рассмотрим теперь дифференциальную форму теоремы Гаусса. Пусть в некоторой точке с координатами напряженность поля (рис.1.1.16) равна .Построим около точки прямоугольный бесконечно малый параллелепипед объемом . Объемная плотность заряда в нем равна и зависит от координат выбранной точки поля: .

Поток вектора через правую грань (1) равен: ,

а через левую (2): ,

Поэтому поток вдоль оси равен

Таким же образом для верхней и нижней грани получим: ,

для задней и передней: .

По теореме Гаусса , причем - заряд, заключенный внутри объема (ввиду малости можно считать что внутри параллелепипеда всюду одинакова), , тогда

, или

Сумма, стоящая в левой части, называется дивергенцией вектора ,

, или

-дивергенция вектора напряженности равна объемной плотности зарядов, создающих поле, деленной на . Это выражение представляет собой теорему Гаусса в дифференциальной форме. Она характеризует поле в точке. Электрические заряды являются источниками и стоками поля вектора . Линии вектора начинаются и заканчиваются на электрических зарядах. Если - это источник поля , если - сток поля. Если , то в данной точке нет зарядов, линии не прерываются.

ПОТЕНЦИАЛЬНЫЙ ХАРАКТЕР ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ. РАБОТА СИЛ ПОЛЯ ПРИ ПЕРЕМЕЩЕНИИ ЗАРЯДОВ. ЦИРКУЛЯЦИЯ И РОТОР ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ. ТЕОРЕМА СТОКСА В ИНТЕГРАЛЬНОЙ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ФОРМЕ

Работа, совершаемая силами электростатического поля при перемещении заряда на отрезок , определяется выражением:

Разделив на величину заряда , получим работу по перемещению единичного положительного заряда:

Работа, совершаемая при перемещении единичного положительного заряда по конечному пути , равна интегралу

. (1.1.2)

Здесь - сила Кулона, которая является центральной силой. Из механики известно, что поле центральных сил консервативно. Следовательно, работа электростатического поля по перемещению заряда не зависит от траектории, а определяется только начальной и конечными ее точками. Работа по замкнутому пути равна нулю. Поле, обладающее такими свойствами, называется потенциальным. Тогда из (1.1.2) имеем:

(1.1.3)

- циркуляция вектора по замкнутому пути равна нулю. Поле, обладающее такими свойствами, называется потенциальным.

Докажем потенциальный характер электростатического поля.

Рассмотрим сначала работу электрических сил в поле элементарного точечного заряда . Работа этих сил при бесконечно малом перемещении пробного единичного положительного заряда равна:

,

Из рис. 1.1.17 видно, что - это приращение численного значения радиус-вектора , то есть увеличение расстояния пробного заряда от заряда . Поэтому работа может быть представлена как полный дифференциал скалярной функции точки :

,

где - численное значение радиус-вектора . Тогда работа по перемещению единичного положительного заряда из точки в точку по конечному пути равна:

,

где и - расстояния начальной и конечной точек пути от заряда . Таким образом, работа электрических сил на произвольном пути в поле неподвижного элементарного точечного заряда действительно зависит от положений начальной и конечной точек этого пути и не зависит от формы пути. На рис.1.1.18 работа на пути равна работе на пути : избыточная работа, совершаемая на пути при перемещении пробного заряда за пределы сферы радиуса , компенсируется отрицательной работой, совершаемой при последующем приближении пробного заряда к заряду на последнем участке пути . Таким образом, поле неподвижного точечного заряда есть поле потенциальное.

Очевидно, сумма потенциальных полей тоже есть потенциальное поле (так как если работа слагаемых сил не зависит от формы пути, то и работа равнодействующей от нее не зависит). Поле произвольной системы зарядов можно рассматривать как сумму полей каждого из точечных зарядов, поэтому всякое электростатическое поле есть поле потенциальное.

Согласно интегральной форме теоремы Стокса циркуляция векторного поля равна , тогда проекция на произвольное направление поля равна , где - бесконечно малая площадка, проходящая через точку перпендикулярно вектору .

Так как циркуляция вектора по замкнутому контуру равна нулю, , то , или

. (1.1.4)

Так как направление выбрано произвольно, то проекция на любые направления равна 0, поэтому из (1.1.4) во всех точках электростатического поля, то есть электростатическое поле является безвихревым. Это дифференциальная форма теоремы Стокса для электростатического поля. Выражения (1.1.3) и (1.1.4) эквивалентны.

1.1.10.ПОТЕНЦИАЛ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ. ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ ЗАРЯДА В ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОМ ПОЛЕ

Работа сил электрического поля, созданного зарядом , по перемещению заряда из точки 1 в точку 2 равна:

.

Работа сил консервативного поля равна убыли потенциальной энергии:

,

тогда потенциальная энергия заряда в поле заряда равна:

.

Значение константы выбирается таким, чтобы при удалении заряда на бесконечность (то есть при ) потенциальная энергия обратилась бы в ноль, поэтому

.

Ясно, что разные пробные заряды и в одной и той же точке поля будут обладать разной потенциальной энергией и . Однако отношение для всех пробных зарядов будет одинаково. Величина называется потенциалом электрического поля и является его энергетической характеристикой. Потенциал поля точечного заряда равен

.

Если поле создается системой точечных зарядов, то работа сил поля над этими зарядами равна

,

где - расстояние от заряда до начального положения заряда , - расстояние от заряда до конечного положения заряда (заряд перемещается силами поля).

Тогда потенциальная энергия заряда в поле системы зарядов:

,

и потенциал поля, создаваемого системой зарядов, равен алгебраической сумме потенциалов, создаваемых каждым из зарядов в отдельности.

Зная потенциал, можно найти потенциальную энергию заряда в электрическом поле: . Работа поля над зарядом: работа равна убыли потенциала, умноженной на заряд.

Если заряд удаляется из точки на бесконечность, то работа сил поля равна , следовательно, потенциал численно равен отношению работы, которую совершают силы поля над положительным зарядом при удалении его из данной точки на бесконечность, к величине этого заряда. Потенциал измеряется в вольтах: .