Пример приведения общего уравнения линии второго порядка к каноническому виду
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Кривые второго порядка. 2
Пример приведения общего уравнения линии второго порядка к каноническому виду 2
Эллипс. 5
Вывод уравнения эллипса. 5
Гипербола. 7
Парабола. 8
Примеры решения задач на тему «Кривые второго порядка». 9
Кривые второго порядка
Общее уравнение кривой второго порядка в декартовой системе координат имеет вид
A, B, C – одновременно не равны нулю.
Важнейшие случаи общего уравнения кривой II порядка.
1. Эллипс: , ( ). При - окружность. ;
2. Гипербола: , ( ) с полуосями и ;
3. Парабола: , ( );
4. Пара пересекающихся прямых: , ( )
, ;
5. Пара параллельных или совпадающих прямых: , ( )
;
6. Точка: .
Могут быть случаи, когда нет точек, удовлетворяющих уравнению:
- мнимая кривая II порядка (эллипс мнимый);
- пара мнимых параллельных прямых.
Пример приведения общего уравнения линии второго порядка к каноническому виду
(*)
В большинстве формул теории линий второго порядка коэффициенты входят деленными на 2, т. е. буквы обозначают половину коэффициента. Первые три члена уравнения называются старшими членами.
Можно записать уравнение (*) следующим образом:
Пусть дано общее уравнение II порядка (*). Требуется упростить это уравнение путём перехода к другой системе координат (с более выгодным расположением осей):
1) добиться, чтобы число членов первой степени стало наименьшим;
2) в группе старших членов избавиться от слагаемого с произведением координат;
3) избавиться от свободного члена.
Для этого воспользуемся параллельным переносом и поворотом координатных осей.
Выведем формулы преобразования координат при параллельном переносе и повороте осей. Пусть точка имеет координаты в «старой системе координат» и – в новой системе координат, полученной путем параллельного переноса и последующего поворота осей.
Параллельный перенос координатных осей
(1)
Поворот координатных осей
Пусть ,
.
,
.
(2)
Формулы (1) и (2) задают старые координаты точки через ее координаты в новой системе.
Рассмотрим приведение общего уравнения линии второго порядка к каноническому виду на примере.
Пусть дано общее уравнение второго порядка:
. (3)
Произведем параллельный перенос координатных осей в точку по формулам (1): .
(3’)
Чтобы избавиться от членов первого порядка, приравняем коэффициенты при них к нулю:
Решив систему, найдем координаты точки S , нового начала координат: S . Подставим эти координаты в уравнение (3’). В новых координатах уравнение примет вид:
(4)
Геометрический смысл преобразования – перенести начало координат в центр кривой.
Осталось повернуть оси, чтобы они совпали с осями симметрии кривой. Воспользуемся формулами поворота координатных осей (2).
(5)
Подбираем угол так, чтобы коэффициент при произведении стал равен нулю, т. е. решаем уравнение
.
,
.
Определяем и подставляем в (5):
.
Приводим уравнение к каноническому виду, разделив все коэффициенты на 20:
. (6)
Уравнение (6) – это каноническое уравнение эллипса с полуосями 2 (по оси О ) и 1(по оси О ).
Эллипс
Определение. Эллипс – это геометрическое место точек, для которых сумма расстояний от двух фиксированных точек плоскости и есть постоянная величина. Точки и называются фокусами.
и - фокальные радиусы точки .
0
, ,
следовательно ,
.