Пример приведения общего уравнения линии второго порядка к каноническому виду

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Кривые второго порядка. 2

Пример приведения общего уравнения линии второго порядка к каноническому виду 2

Эллипс. 5

Вывод уравнения эллипса. 5

Гипербола. 7

Парабола. 8

Примеры решения задач на тему «Кривые второго порядка». 9

Кривые второго порядка

Общее уравнение кривой второго порядка в декартовой системе координат имеет вид

Пример приведения общего уравнения линии второго порядка к каноническому виду - student2.ru

A, B, C – одновременно не равны нулю.

Важнейшие случаи общего уравнения кривой II порядка.

1. Эллипс: Пример приведения общего уравнения линии второго порядка к каноническому виду - student2.ru , ( Пример приведения общего уравнения линии второго порядка к каноническому виду - student2.ru ). При Пример приведения общего уравнения линии второго порядка к каноническому виду - student2.ru - окружность. Пример приведения общего уравнения линии второго порядка к каноническому виду - student2.ru ;

2. Гипербола: Пример приведения общего уравнения линии второго порядка к каноническому виду - student2.ru , ( Пример приведения общего уравнения линии второго порядка к каноническому виду - student2.ru ) с полуосями Пример приведения общего уравнения линии второго порядка к каноническому виду - student2.ru и Пример приведения общего уравнения линии второго порядка к каноническому виду - student2.ru ;

3. Парабола: Пример приведения общего уравнения линии второго порядка к каноническому виду - student2.ru , ( Пример приведения общего уравнения линии второго порядка к каноническому виду - student2.ru );

4. Пара пересекающихся прямых: Пример приведения общего уравнения линии второго порядка к каноническому виду - student2.ru , ( Пример приведения общего уравнения линии второго порядка к каноническому виду - student2.ru )

Пример приведения общего уравнения линии второго порядка к каноническому виду - student2.ru , Пример приведения общего уравнения линии второго порядка к каноническому виду - student2.ru ;

5. Пара параллельных или совпадающих прямых: Пример приведения общего уравнения линии второго порядка к каноническому виду - student2.ru , ( Пример приведения общего уравнения линии второго порядка к каноническому виду - student2.ru )

Пример приведения общего уравнения линии второго порядка к каноническому виду - student2.ru ;

6. Точка: Пример приведения общего уравнения линии второго порядка к каноническому виду - student2.ru .

Могут быть случаи, когда нет точек, удовлетворяющих уравнению:

Пример приведения общего уравнения линии второго порядка к каноническому виду - student2.ru - мнимая кривая II порядка (эллипс мнимый);

Пример приведения общего уравнения линии второго порядка к каноническому виду - student2.ru - пара мнимых параллельных прямых.

Пример приведения общего уравнения линии второго порядка к каноническому виду

Пример приведения общего уравнения линии второго порядка к каноническому виду - student2.ru (*)

В большинстве формул теории линий второго порядка коэффициенты Пример приведения общего уравнения линии второго порядка к каноническому виду - student2.ru входят деленными на 2, т. е. буквы Пример приведения общего уравнения линии второго порядка к каноническому виду - student2.ru обозначают половину коэффициента. Первые три члена уравнения называются старшими членами.

Можно записать уравнение (*) следующим образом:

Пример приведения общего уравнения линии второго порядка к каноническому виду - student2.ru

Пусть дано общее уравнение II порядка (*). Требуется упростить это уравнение путём перехода к другой системе координат (с более выгодным расположением осей):

1) добиться, чтобы число членов первой степени стало наименьшим;

2) в группе старших членов избавиться от слагаемого с произведением координат;

3) избавиться от свободного члена.

Для этого воспользуемся параллельным переносом и поворотом координатных осей.

Выведем формулы преобразования координат при параллельном переносе и повороте осей. Пусть точка Пример приведения общего уравнения линии второго порядка к каноническому виду - student2.ru имеет координаты Пример приведения общего уравнения линии второго порядка к каноническому виду - student2.ru в «старой системе координат» и Пример приведения общего уравнения линии второго порядка к каноническому виду - student2.ru – в новой системе координат, полученной путем параллельного переноса и последующего поворота осей.

Пример приведения общего уравнения линии второго порядка к каноническому виду - student2.ru Параллельный перенос координатных осей

Пример приведения общего уравнения линии второго порядка к каноническому виду - student2.ru (1)

Пример приведения общего уравнения линии второго порядка к каноническому виду - student2.ru Поворот координатных осей

Пусть Пример приведения общего уравнения линии второго порядка к каноническому виду - student2.ru Пример приведения общего уравнения линии второго порядка к каноническому виду - student2.ru ,

Пример приведения общего уравнения линии второго порядка к каноническому виду - student2.ru .

Пример приведения общего уравнения линии второго порядка к каноническому виду - student2.ru ,

Пример приведения общего уравнения линии второго порядка к каноническому виду - student2.ru .

Пример приведения общего уравнения линии второго порядка к каноническому виду - student2.ru (2)

Формулы (1) и (2) задают старые координаты точки через ее координаты в новой системе.

Рассмотрим приведение общего уравнения линии второго порядка к каноническому виду на примере.

Пусть дано общее уравнение второго порядка:

Пример приведения общего уравнения линии второго порядка к каноническому виду - student2.ru . (3)

Произведем параллельный перенос координатных осей в точку Пример приведения общего уравнения линии второго порядка к каноническому виду - student2.ru по формулам (1): Пример приведения общего уравнения линии второго порядка к каноническому виду - student2.ru .

Пример приведения общего уравнения линии второго порядка к каноническому виду - student2.ru

Пример приведения общего уравнения линии второго порядка к каноническому виду - student2.ru (3’)

Чтобы избавиться от членов первого порядка, приравняем коэффициенты при них к нулю:

Пример приведения общего уравнения линии второго порядка к каноническому виду - student2.ru

Решив систему, найдем координаты точки S Пример приведения общего уравнения линии второго порядка к каноническому виду - student2.ru , нового начала координат: S Пример приведения общего уравнения линии второго порядка к каноническому виду - student2.ru . Подставим эти координаты в уравнение (3’). В новых координатах уравнение примет вид:

Пример приведения общего уравнения линии второго порядка к каноническому виду - student2.ru (4)

Геометрический смысл преобразования – перенести начало координат в центр кривой.

Осталось повернуть оси, чтобы они совпали с осями симметрии кривой. Воспользуемся формулами поворота координатных осей (2).

Пример приведения общего уравнения линии второго порядка к каноническому виду - student2.ru (5)

Подбираем угол Пример приведения общего уравнения линии второго порядка к каноническому виду - student2.ru так, чтобы коэффициент при произведении Пример приведения общего уравнения линии второго порядка к каноническому виду - student2.ru стал равен нулю, т. е. решаем уравнение

Пример приведения общего уравнения линии второго порядка к каноническому виду - student2.ru .

Пример приведения общего уравнения линии второго порядка к каноническому виду - student2.ru ,

Пример приведения общего уравнения линии второго порядка к каноническому виду - student2.ru .

Определяем Пример приведения общего уравнения линии второго порядка к каноническому виду - student2.ru и подставляем в (5):

Пример приведения общего уравнения линии второго порядка к каноническому виду - student2.ru .

Приводим уравнение к каноническому виду, разделив все коэффициенты на 20:

Пример приведения общего уравнения линии второго порядка к каноническому виду - student2.ru . (6)

Уравнение (6) – это каноническое уравнение эллипса с полуосями 2 (по оси О Пример приведения общего уравнения линии второго порядка к каноническому виду - student2.ru ) и 1(по оси О Пример приведения общего уравнения линии второго порядка к каноническому виду - student2.ru ).

Эллипс

Определение. Эллипс – это геометрическое место точек, для которых сумма расстояний от двух фиксированных точек плоскости Пример приведения общего уравнения линии второго порядка к каноническому виду - student2.ru и Пример приведения общего уравнения линии второго порядка к каноническому виду - student2.ru есть постоянная величина. Точки Пример приведения общего уравнения линии второго порядка к каноническому виду - student2.ru и Пример приведения общего уравнения линии второго порядка к каноническому виду - student2.ru называются фокусами.

Пример приведения общего уравнения линии второго порядка к каноническому виду - student2.ru Пример приведения общего уравнения линии второго порядка к каноническому виду - student2.ru и Пример приведения общего уравнения линии второго порядка к каноническому виду - student2.ru - фокальные радиусы точки Пример приведения общего уравнения линии второго порядка к каноническому виду - student2.ru .

Пример приведения общего уравнения линии второго порядка к каноническому виду - student2.ru

0

Пример приведения общего уравнения линии второго порядка к каноническому виду - student2.ru , Пример приведения общего уравнения линии второго порядка к каноническому виду - student2.ru ,

Пример приведения общего уравнения линии второго порядка к каноническому виду - student2.ru следовательно Пример приведения общего уравнения линии второго порядка к каноническому виду - student2.ru ,

Пример приведения общего уравнения линии второго порядка к каноническому виду - student2.ru .

Наши рекомендации