Приведение уравнения второго порядка к каноническому виду
В главе "Поверхности второго порядка", где рассматривались поверхности второго порядка, было выписано их общее уравнение (13.1), а дальше для каждой поверхности использовалась своя прямоугольная декартова система координат, в которой уравнение поверхности имело канонический вид. В этом разделе мы выясним, как по общему уравнению найти такую систему координат. Результаты этого раздела используются и для приведения общего уравнения кривой второго порядка к каноническому виду. Достаточно будет во всех рассуждениях отбросить третью координату.
Пусть в пространстве задана прямоугольная декартова система координат . Рассмотрим общее уравнение поверхности второго порядка, коэффициенты в котором обозначены специальным образом
(19.7) |
где -- числа, причем хотя бы одно из чисел отлично от нуля.
Выделим квадратичную часть выражения, стоящего в уравнении слева,
Такое выражение называется квадратичной формой от трех переменных. Составим матрицу
Эта матрица называется матрицей квадратичной формы . Она является симметричной, то есть , или, другими словами, . Следует обратить внимание на то, как эта матрица составлена. На диагонали у нее стоят коэффициенты при квадратах переменных, а в остальных местах -- половины коэффициентов при произведениях переменных.
Исходная система координат является прямоугольной, поэтому скалярное произведение векторов с координатными столбцами , задается формулой . Сформулируем две теоремы, позволяющие пользоваться приведенным ниже алгоритмом.
Теорема 19.4 Если матрица -- симметричная, то ее собственные числа являются вещественными числами и существует ортонормированный базис из собственных векторов.
Пусть -- матрица квадратичной формы . По сформулированной теореме у нее существует ортонормированный базис из собственных векторов. Обозначим их , , , и пусть эти векторы имеют координаты
Базис i, j, k назовем старым, а базис -- новым. Тогда матрица перехода 19.1.4.а будет иметь вид
Выберем новую систему координат так, что начало координат не изменяется, а новые базисные векторы , , задают направления новых координатных осей , , (рис. 19.8).
Рис.19.8.Система координат
Тогда координаты точки являются координатами ее радиус-вектора и, следовательно, при замене базиса меняются по формуле (18.1)
(19.8) |
Теорема 19.5 Пусть собственные векторы , , матрицы квадратичной формы , образующие ортонормированный базис, соответствуют собственным числам , , . Тогда в системе координат квадратичная форма принимает вид
Если мы из равенства (19.8) выпишем выражение , , через новые переменные , , и подставим в уравнение (19.7), то обнаружим, что квадратичная его часть и линейная часть преобразуются независимо друг от друга. В результате уравнение в системе координат имеет вид
(19.9) |
Хотя бы одно из чисел , , отлично от нуля, иначе матрица была бы нулевой.
Рассмотрим три случая.
- Пусть все собственные числа , , отличны от нуля. В уравнении (19.9) выделим полные квадраты
Выполним параллельный перенос системы координат , взяв за новое начало системы координат точку (см. формулы (13.21)). Тогда в новой системе координат уравнение запишется в виде
Здесь возможны следующие варианты.
- Пусть . Перенесем в правую часть и поделим обе части на , получим
- Если числа , , отрицательны, то ни одна точка пространства не удовлетворяет этому уравнению. Говорят, что оно определяет мнимый эллипсоид.
- Если числа , , положительны, то уравнение является каноническим уравнением эллипсоида.
- Если одно из чисел , , отрицательно, а остальные положительны, то (после переименования осей) получим каноническое уравнение однополостного гиперболоида.
- Если одно из чисел , , положительно, остальные отрицательны, то (после переименования осей) получим каноническое уравнение двуполостного гиперболоида.
- Пусть .
- Если все числа , , положительны, то только начало координат удовлетворяет этому уравнению. Поверхность выродилась в точку.
- Если одно из чисел , , отрицательно, а два положительны, то (после переименования осей) получим каноническое уравнение конуса.
Если же два числа отрицательны или все три отрицательны, то, умножив обе части уравнения на , получим случай 2 или случай 1.
- Пусть одно из чисел , , равно нулю, а два других отличны от нуля. Допустим, что . Тогда в уравнении (19.9) выделим полные квадраты по переменным ,
- Пусть . Преобразуем уравнение к виду
Поделим обе части уравнения на и выполним параллельный перенос осей координат, взяв за новое начало координат точку . Получим уравнение
- Если числа и положительны, то это -- каноническое уравнение эллиптического параболоида.
- Если , , получим каноническое уравнение гиперболического параболоида.
Если числа и отрицательны или , , то сменим направление у оси на противоположное и получим либо случай 1, либо случай 2.
- Пусть . Тогда поверхность является цилиндрической, образующие которой параллельны оси , а направляющей служит кривая на плоскости с уравнением
Анализ поверхностей с таким уравнением предоставляем читателю.
- Пусть только одно из чисел , , отлично от нуля. Допустим, что . Тогда в уравнении (19.9) выделим полный квадрат по переменному
- Пусть хотя бы одно из чисел , отлично от нуля. Тогда на плоскости возьмем две перпендикулярные прямые и . Возьмем новую систему координат, у которой начало будет в точке , ось направлена по оси , ось направлена вдоль второй прямой, а ось направлена вдоль первой прямой. Тогда уравнение примет вид
Это -- уравнение цилиндрической поверхности, образующие которой параллельны оси , а направляющей служит кривая на плоскости с уравнением
Анализ возможных поверхностей оставляем читателю.
- Пусть . Тогда уравнение принимает вид
- Если число справа положительно, то уравнение определяет две плоскости
- Если число справа равно нулю, то уравнение определяет одну плоскость
- Если число справа отрицательно, то ни одна точка пространства уравнению не удовлетворяет.
Итак, получен алгоритм, позволяющий установить, какая поверхность задается уравнением второго порядка и каково ее положение в пространстве.
Пример 19.11 Приведите уравнение поверхности
к каноническому виду.
Решение. Квадратичная форма имеет вид
Выписываем ее матрицу
Находим ее собственные числа. Для этого запишем характеристическое уравнение
После вычисления определителя получим
Подбором находим один корень . Преобразуем уравнение, выделяя множитель
или
откуда
Находим два других корня характеристического уравнения и .
Находим собственные векторы. Для собственного числа для координат собственного вектора получим систему уравнений
Решая ее находим, что фундаментальная система решений содержит только одно решение, и в качестве собственного вектора можно взять . Для собственного числа для координат собственного вектора получим систему уравнений
Отсюда находим собственный вектор . Для собственного числа для координат собственного вектора получим систему уравнений
Отсюда находим собственный вектор .
Легко проверить, что , то есть собственные векторы попарно ортогональны. Их длины равны соответственно , , . Поэтому векторы нового ортонормированного базиса будут иметь координаты
Матрица перехода имеет вид
Старые координаты связаны с новыми уравнением , то есть
(19.10) |
Подставим эти выражения в исходное уравнение. Квадратичная форма примет вид, в котором произведения переменных будут отсутствовать, а коэффициентами при квадратах будут служить собственные числа
Приводим подобные члены
Выделим полные квадраты
или
Выполняем параллельный перенос осей координат
Новое начало системы координат имеет координаты
В исходной системе координат точка в соответствии с формулами (19.10) имеет координаты
Рис.19.9.Система координат
В новой системе координат (рис. 19.9) уравнение принимает канонический вид
Это уравнение является каноническим уравнением однополостного гиперболоида. Его центр находится в точке , две вещественные оси параллельны векторам , , вещественные полуоси равны , . Мнимая ось параллельна вектору , мнимая полуось равна . Изображение гиперболоида приведено на рисунке 19.10.
Рис.19.10.Изображение гиперболоида