Приведение уравнения второго порядка к каноническому виду.

Определение 11.9. Линия, определяемая общим уравнением второго порядка

Приведение уравнения второго порядка к каноническому виду. - student2.ru , (11.5)

называется алгебраической линией второго порядка.

Для квадратичной формы Приведение уравнения второго порядка к каноническому виду. - student2.ru можно задать матрицу

Приведение уравнения второго порядка к каноническому виду. - student2.ru . (11.6)

Для того, чтобы перейти к новой системе координат, в которой уравнение линии будет иметь канонический вид, необходимо провести два преобразования:

1) поворот координатных осей на такой угол, чтобы их направление совпало с направлением осей симметрии кривой (если она имеет две оси);

2) параллельный перенос, при котором начало координат совмещается с центром симметрии кривой (если он существует).

Замечание. Для параболы новые оси координат должны располагаться параллельно и перпендикулярно директрисе, а начало координат – совпасть с вершиной параболы.

Поскольку в канонических уравнениях кривых второго порядка отсутствуют произведения переменных, необходимо перейти к координатной системе, определяемой базисом из ортонормированных собственных векторов матрицы А. В этом базисе уравнение (11.5) примет вид:

Приведение уравнения второго порядка к каноническому виду. - student2.ru (в предположении, что λ1,2 не равны 0).

Зададим последующий параллельный перенос формулами:

Приведение уравнения второго порядка к каноническому виду. - student2.ru . Получим в новой координатной системе уравнение

Приведение уравнения второго порядка к каноническому виду. - student2.ru . (11.7)

Рассмотрим возможные геометрические образы, определяемые этим уравнением в зависимости от знаков λ1, λ2 и Приведение уравнения второго порядка к каноническому виду. - student2.ru :

1) если собственные числа матрицы А λ1 и λ2 и Приведение уравнения второго порядка к каноническому виду. - student2.ru одного знака, уравнение (11.7) представляет собой каноническое уравнение эллипса:

Приведение уравнения второго порядка к каноническому виду. - student2.ru , где Приведение уравнения второго порядка к каноническому виду. - student2.ru

(случаи Приведение уравнения второго порядка к каноническому виду. - student2.ru и Приведение уравнения второго порядка к каноническому виду. - student2.ru , имеющего знак, противоположный знаку λ1, λ2, будут рассмотрены в следующей лекции).

2) если λ1 и λ2 имеют разные знаки, уравнение (11.7) является каноническим уравнением гиперболы:

Приведение уравнения второго порядка к каноническому виду. - student2.ru или Приведение уравнения второго порядка к каноническому виду. - student2.ru , в зависимости от знака Приведение уравнения второго порядка к каноническому виду. - student2.ru .

В случае, когда одно из собственных чисел матрицы А равно 0, уравнение (11.5) в результате двух преобразований координат можно привести к виду:

Приведение уравнения второго порядка к каноническому виду. - student2.ru , (11.8)

являющимся каноническим уравнением параболы.

Пример.

Приведем к каноническому виду уравнение второго порядка

3x² + 10xy +3y² - 2x – 14y – 13 = 0.

Матрица квадратичной формы 3x² + 10xy + 3y² имеет вид:

Приведение уравнения второго порядка к каноническому виду. - student2.ru .

Найдем ее собственные числа и собственные векторы. Составим характеристическое уравнение: Приведение уравнения второго порядка к каноническому виду. - student2.ru Для координат собственного вектора е1, соответствующегоλ1, получим с учетом нормировки:

Приведение уравнения второго порядка к каноническому виду. - student2.ru , откуда e1 = { Приведение уравнения второго порядка к каноническому виду. - student2.ru }. Аналогично найдем е2: Приведение уравнения второго порядка к каноническому виду. - student2.ru ,

e2 = { Приведение уравнения второго порядка к каноническому виду. - student2.ru }. Составим матрицу перехода к новому базису, столбцами которой будут координаты собственных векторов: Приведение уравнения второго порядка к каноническому виду. - student2.ru . Тогда

Приведение уравнения второго порядка к каноническому виду. - student2.ru . Подставив эти выражения в исходное уравнение, получим его вид в новой системе координат: Приведение уравнения второго порядка к каноническому виду. - student2.ru Заметим, что коэффициентами при x² и y² являются λ1 и λ2.

Преобразуем полученное уравнение: Приведение уравнения второго порядка к каноническому виду. - student2.ru

Приведение уравнения второго порядка к каноническому виду. - student2.ru Зададим параллельный перенос формулами: Приведение уравнения второго порядка к каноническому виду. - student2.ru . Получим уравнение: Приведение уравнения второго порядка к каноническому виду. - student2.ru , а после деления на 8:

Приведение уравнения второго порядка к каноническому виду. - student2.ru - каноническое уравнение гиперболы.

Приведение уравнения второго порядка к каноническому виду. - student2.ru

Приведение уравнения второго порядка к каноническому виду. - student2.ru

24. Приведение уравнения второго порядка к каноническому виду. - student2.ru Формулы перехода к новому базису линейного пространства. Линейная функция и линейный оператор в различных базисах.

Приведение уравнения второго порядка к каноническому виду. - student2.ru


Наши рекомендации