Приведение ОБЩЕГО уравнения ЛВП к каноническому виду

ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА

1. Уравнения ЛВП с осями симметрии, параллельными координатным осям.

Пусть имеются два прямоугольных репера. Найдем в старом репере уравнение эллипса с центром в точке О¢, полуосями а и b, оси которого параллельны координатным осям, т.е. полученном при параллельном переносе. Пусть координаты нового начала координат О¢(х0; у0)R. Тогда в новом репере уравнение эллипса:

Приведение ОБЩЕГО уравнения ЛВП к каноническому виду - student2.ru .

По формулам параллельного переноса: Приведение ОБЩЕГО уравнения ЛВП к каноническому виду - student2.ru получим:

Приведение ОБЩЕГО уравнения ЛВП к каноническому виду - student2.ru . (4)

Раскроем скобки, приведем подобные слагаемые, получим:

Приведение ОБЩЕГО уравнения ЛВП к каноническому виду - student2.ru .

Введем соответствующие обозначения для коэффициентов при различных степенях неизвестных, получим уравнения вида:

Приведение ОБЩЕГО уравнения ЛВП к каноническому виду - student2.ru (5)

Аналогичные преобразования можно выполнить для гиперболы и параболы. Коэффициенты А и С не равны нулю одновременно.

Теорема 1. Уравнение вида (5) всегда определяет: либо окружность (А=С), либо эллипс (АС>0, т.е. А и С одного знака), либо гиперболу (АС<0, т.е. А и С разных знаков).

Примечание. Возможны случаи, когда эллипс вырождается в точку или мнимый эллипс, гипербола – в пару пересекающихся прямых, парабола – в пару параллельных прямых:

Приведение ОБЩЕГО уравнения ЛВП к каноническому виду - student2.ru

2. Общее уравнение ЛВП, с осями симметрии, не параллельными координатным осям.

Рассмотрим случай расположения ЛВП относительно старого репера, когда ее оси симметрии не параллельны координатным осям, т.е. при повороте. Линии соответствует уравнение:

Приведение ОБЩЕГО уравнения ЛВП к каноническому виду - student2.ru (6)

Это уравнение называется общим уравнением линии второго порядка.

Используем формулы поворота: Приведение ОБЩЕГО уравнения ЛВП к каноническому виду - student2.ru Подставим их в уравнение (6) и выполним тождественные преобразования:

Приведение ОБЩЕГО уравнения ЛВП к каноническому виду - student2.ru

Выберем угол a так, чтобы коэффициенты при Приведение ОБЩЕГО уравнения ЛВП к каноническому виду - student2.ru обратился в нуль, т.е.

Приведение ОБЩЕГО уравнения ЛВП к каноническому виду - student2.ru .

Отсюда Приведение ОБЩЕГО уравнения ЛВП к каноническому виду - student2.ru .

При повороте осей на угол, удовлетворяющий последнему условию, уравнение (6) приведется к уравнению (5).

Вывод. Общее уравнение второго порядка определяет на плоскости линию второго порядка.

Классификация ЛВП

Дано общее уравнение линии второго порядка Приведение ОБЩЕГО уравнения ЛВП к каноническому виду - student2.ru (6)

Уравнение (6) всегда определяет линию второго порядка.

Рассмотрим определитель второго порядка Приведение ОБЩЕГО уравнения ЛВП к каноническому виду - student2.ru .

1) Если I>0, то уравнение определяет эллипс Приведение ОБЩЕГО уравнения ЛВП к каноническому виду - student2.ru , вырожденные случаи: точку (пара мнимых пересекающихся прямых) Приведение ОБЩЕГО уравнения ЛВП к каноническому виду - student2.ru и мнимый эллипс Приведение ОБЩЕГО уравнения ЛВП к каноническому виду - student2.ru .

2) Если I<0, то уравнение определяет гиперболу Приведение ОБЩЕГО уравнения ЛВП к каноническому виду - student2.ru , вырожденный случай: пару пересекающихся прямых Приведение ОБЩЕГО уравнения ЛВП к каноническому виду - student2.ru .

3) Если I=0, то уравнение определяет параболу Приведение ОБЩЕГО уравнения ЛВП к каноническому виду - student2.ru , вырожденные случаи: пару действительных параллельных прямых Приведение ОБЩЕГО уравнения ЛВП к каноническому виду - student2.ru , пару мнимых параллельных прямых Приведение ОБЩЕГО уравнения ЛВП к каноническому виду - student2.ru , пару совпавших прямых Приведение ОБЩЕГО уравнения ЛВП к каноническому виду - student2.ru .

Типы ЛВП

Линия Каноническое уравнение Дискриминант I Действительные точки Центры
1. Эллипс Приведение ОБЩЕГО уравнения ЛВП к каноническому виду - student2.ru + ¥ не на линии
2. Гипербола Приведение ОБЩЕГО уравнения ЛВП к каноническому виду - student2.ru ¥ не на линии
3. Парабола Приведение ОБЩЕГО уравнения ЛВП к каноническому виду - student2.ru ¥ нет
4. Мнимый эллипс Приведение ОБЩЕГО уравнения ЛВП к каноническому виду - student2.ru + не на линии
5. Пара пересекающихся прямых Приведение ОБЩЕГО уравнения ЛВП к каноническому виду - student2.ru ¥ на линии
6. Пара мнимых пересекающихся прямых Приведение ОБЩЕГО уравнения ЛВП к каноническому виду - student2.ru + на линии
7. Пара параллельных прямых Приведение ОБЩЕГО уравнения ЛВП к каноническому виду - student2.ru ¥ Прямая центров не на линии
8. Пара мнимых параллельных прямых Приведение ОБЩЕГО уравнения ЛВП к каноническому виду - student2.ru Прямая центров не на линии
9. Пара совпавших прямых Приведение ОБЩЕГО уравнения ЛВП к каноническому виду - student2.ru ¥ Прямая центров на линии

Приведение ОБЩЕГО уравнения ЛВП к каноническому виду

1 способ. Выделение полного квадрата.

2 способ. Применение формул преобразования координат (с исследованием линии второго порядка).

Наши рекомендации