Несобственные интегралы от неограниченной функции

Пусть функция имеет разрыв II рода на [a,b] либо в точках а и b, либо в точке , тогда несобственные интегралы от разрывной функции определяются следующим образом:

1) - точка разрыва, то

;

2) - точка разрыва, то

,

3) , с - точка разрыва, то

Если указанные пределы существуют и конечны, то несобственные интегралы называются сходящимися, в противном случае расходящимися.

Признак сравнения. Пусть функции f(x) и g(x) в промежутках [a,b) непрерывны, а в точке имеют разрыв II рода; кроме того . Если сходится, то сходится .

Если расходится, то расходится .

Пример 41. Исследовать на сходимость несобственный интеграл .

Решение. Функция в точке имеет разрыв II рода, поэтому

.

Интеграл расходящийся.

Пример 42. Исследовать на сходимость несобственный интеграл от неограниченной функции

Решение. При знаменатель функции обращается в 0, а числитель равен 1, следовательно, - точка разрыва II рода. Во всех остальных точках промежутка (0;1] подынтегральная функция непрерывна.

Заметим также, что ,

Используя определение несобственного интеграла от неограниченной функции, а также формулу Ньютона-Лейбница получим

Интеграл сходящийся.

Приложения определенного интеграла

Вычисление площади плоской фигуры в

Декартовых координатах

Если задана непрерывная функция на [a,b], , то определенный интеграл с геометрической точки зрения представляет собой площадь так называемой, криволинейной трапеции (рис.4.1).

(4.1)

Пусть криволинейная трапеция с основанием [a,b] ограничена снизу кривой (рис.4.2), то из соображений симметрии видим, что

(4.2)

В некоторых случаях, чтобы вычислить площадь искомой фигуры, необходимо разбить ее на сумму или разность двух или более криволинейных трапеций и применить формулы (4.1) или (4.2) (рис.4.3. и 4.4)

Пример 43. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями и .

Решение. - парабола. Найдем ее вершину и точки пересечения с осями координат.

; или ,

Если , то - вершина параболы.

или или .

- прямая линия.

Найдем абсциссы точек пересечения прямой и параболы:

или .

Для вычисления площади заштрихованной области воспользуемся формулой (4.4)

Пример 44. Вычислить площадь двух частей, на которые круг разделен параболой .

Решение. Сделаем чертеж (рис.4.6)

- окружность с центром

в начале координат и радиусом .

- парабола, имеющая вершину

в т.О(0,0)

Найдем точки пересечения параболы

и окружности:

- не удовлетворяет условию .

Если , то или ,

Найдем площадь заштрихованной области по формуле (4.4), в которой изменены переменные интегрирования:

;

.

.

Найдем площадь второй (незаштрихованной) части, на которую круг разделен параболой

Вычисление площади фигуры, ограниченной линией,

Заданной параметрически

Пусть кривая задана параметрическими уравнениями то площадь криволинейной трапеции, ограниченной этой кривой, прямыми и и отрезком [a,b] оси ОХ, выражается формулой

, (4.5)

где , , и определяются из условий .

Пример 45. Найти площадь фигуры, ограниченной осью ОХ и одной аркой циклоиды

.

Решение. Воспользуемся формулой (4.5). Предварительно найдем :

(кв.ед.)