Задача 40 (задача бюффона)

На плоскости начерчены параллельные прямые, находящиеся друг от друга на расстоянии . На плоскость наудачу брошена игла длины . Какова вероятность того, что игла пересечёт какую-нибудь прямую?

Решение.

Рис. 7.18

Возможные положения иглы (отрезка) на плоскости полностью определяются положением середины иглы и углом поворота иглы относительно какого-либо направления. Причём две эти переменные (положение центра и угол поворота) меняются независимо друг от друга. Обозначим через расстояние от середины иглы до ближайшей прямой, а через — угол между каким-то направлением прямых и иглой. Множество возможных положений иглы целиком определяется выбором наудачу точки из прямоугольника .

Игла пересекает ближайшую прямую, если координаты выбранной наудачу точки удовлетворяют неравенству: . Площадь области , точки которой удовлетворяют такому неравенству, равна

.

.

Тогда

.

Ответ: .

Задача 41. Монета упала на дощатый пол. Ширина доски , радиус монеты . Какова вероятность того, что монета попадет на щель?

Решение. Пусть – координаты центра монеты – расстояние от края доски до монеты.

Пространств элементарных событий , .

Событие состоит в перекрытии щели монетой.

, .

Вероятность появления события равна:

.

Ответ: .

Задача 42. Из отрезка [0, 2] на удачу выбраны два числа и . Найдите вероятность того, что эти числа удовлетворяют неравенствам .

Решение.

Рис. 7.19

По условиям опыта координаты точки удовлетворяют системе неравенств: Это значит, что точка наудачу выбирается из множества точек квадрата со стороной 2. Интересующее нас событие происходит в том и только в том случае, когда выбранная точка окажется под прямой и над параболой (рис. 7.19). Эта область получена как множество точек, ординаты которых удовлетворяют неравенствам . Следовательно, искомая вероятность равна отношению площади области к площади квадрата:

.

Ответ: .

Задача 43. Наудачу взяты два положительных числа и , каждое из которых не превышает двух. Найти вероятность того, что произведение будет не больше единицы, а частное не больше двух.

Решение. По условиям опыта координаты точки удовлетворяют системе неравенств:

Область, благоприятствующая появлению события изображена на рис. 7.20.

Рис. 7.20

,

Тогда

.

Ответ: .

Задача 44. Доказать свойства С 3 – С 10.

Доказательство.

С 3. Нужно доказать, что для любого события : .

Так как , и события и несовместные, то из аксиомы А2 и свойства С 2 получаем:

откуда .

С. 4Докажем, что если A⊆B, то .

Представим B, в виде суммы двух несовместных событий: . По свойству С 2 получаем , откуда выражая получаем требуемое.

С. 5Докажем свойство монотонности вероятности. (Если A⊆B, то ).

В доказательстве предыдущего свойства было получено . Но так как в силу аксиомы неотрицательности А1 , то ч.т.д.

С 6. Требуется доказать, что .

По А1 . Но так как , то по свойству С 5 откуда и получаем, что .

С 7.Докажем, что

, следовательно, по свойству С 2 .

Так как слагаемое , то , что сразу доказывает свойство С 8.

С 9. Покажем, что всегда выполняется

.

Так как , где . А так как события и несовместны, то

.

Для доказательства свойства С 10: для любого конечного набора событий имеет место равенство (6.1)

,

воспользуемся методом математической индукции. При утверждение верно (свойство С 7.) Предположим, что утверждение верно для произвольных событий . Докажем, что оно верно для . По свойству С 7

(7.1)

По предположению индукции первое слагаемое в правой части (7.1) равно

(7.2)

Вычитаемое в правой части (7.1) равно

(7.3)

Подставляя (7.2) и (7.3) в (7.1) получим

.

ч.т.д.