Метод интегрирования по частям
Пусть 
и 
– дифференцируемые функции. Формула интегрирования по частям для неопределенного интеграла имеет вид:
.
Формула интегрирования по частям используется для интегралов следующих типов интегралов:
1. 
; 
; 
.
2. 
; 
; 
; 
; 
.
Пример.Найти интегралы: а) 
; б) 
; в) 
.
Решение. а) Так как 
, а функция 
при интегрировании практически не изменяется (появляется лишь постоянный множитель) , то данный интеграл можно найти интегрированием по частям , полагая 
, 
. Найдем необходимые для записи правой части формулы 
и 
.
Так как , то 
. Найдем :
.
Теперь, применяя формулу интегрирования по частям, получаем:
Используя метод разложения, убеждаемся, что полученный интеграл – сумма табличного и интеграла, который был определен при нахождении . Таким образом, окончательно
Замечание. Анализ полученного решения показывает, что постоянная 
, возникшая при нахождении (по заданному 
) не входит в запись окончательного ответа. Аналогично, в общем случае постоянная , возникающая при нахождении , исключается в процессе решения. Поэтому в дальнейшем, при интегрировании по частям и нахождении будем полагать 
, что несколько упрощает запись решения.
б) Пусть 
, 
. Тогда
и
Применяя формулу интегрирования по частям , получаем
.
В) Пусть 
, 
. Тогда 
и 
. Применяя формулу интегрирования по частям, получаем
.
ЗАДАНИЯ ДЛЯ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ
(6 заданий по 25 вариантов)
Вариант выбирается студентом в соответствии с последними двумя цифрами зачетной книжки. В случае, если две последние цифры превышают 25, то вариант выбирается по формуле: номер зачетки минус необходимое число раз по 25, пока разность не будет меньше или равна 25.
Задание №1
1. Вычислить матрицу 
, где 
; 
; 
.
2. Найти произведение матриц 
, где 
; 
; 
.
3. Решить уравнение 
, где 
, 
.
4. Вычислить матрицу 
, где
; 
; 
; 
– единичная матрица.
5. Найти произведение матриц 
и 
, где
, 
.
6. Найти произведение матриц , где
, 
.
7. Найти произведение матриц 
, где 
, 
.
8. Найти значение матричного многочлена 
, если
, – единичная матрица третьего порядка.
9. Найти произведение матриц , где 
, 
.
10. Найти произведение матриц , где 
, 
.
11. Найти произведение матриц , где 
, 
.
12. Найти значение матричного многочлена 
, если
, – единичная матрица третьего порядка.
13. Вычислить матрицу 
, где
; 
; 
; – единичная матрица.
14. Решить уравнение 
, где 
, .
15. Найти произведение матриц , где, 
, 
.
16. Найти произведение матриц , где 
, 
.
17. Найти произведение матриц , где 
, 
.
18. Найти произведение матриц , где , .
19. Найти произведение матриц , где 
, 
.
20. Найти произведение матриц , где 
, 
.
21. Найти произведение матриц , где 
, 
.
22. Найти произведение матриц , где 
, 
.
23. Найти произведение матриц , где 
, 
.
24. Найти произведение матриц , где 
, 
.
25. Найти произведение матриц , где 
, 
.
Задание №2
Вычислить определители:
1. 
. 2. 
. 3. 
.
4. 
. 5. 
. 6. 
.
7. 
. 8. 
. 9. 
. 10. 
. 11. 
. 12. 
.
13. 
. 14. 
. 15. 
.
16. 
. 17. 
. 18. 
.
19. 
. 20. 
. 21. 
.
22. 
. 23. 
. 24. 
.
25. 
.
Задание №3
Вычислить обратную матрицу 
, если дана матрица 
:
1. 
. 2. 
. 3. 
. 4. 
.
5. 
. 6. 
. 7. 
. 8. 
.
9. 
.10. 
. 11. 
. 12. 
13. 
. 14. 
. 15. 
. 16. 
.
17. 
. 18. 
. 19. 
. 20. 
.
21. 
. 22. 
. 23. 
. 24. 
.
25. 
.
Задание №4
Решить системы линейных уравнений по формулам Крамера и методом Гаусса:
1. 
. 2. 
. 3. 
.
4. 
. 5. 
. 6. 
.
7. 
. 8. 
. 9. 
.
10. 
. 11. 
. 12. 
.
13. 
. 14. 
. 15. 
.
16. 
. 17. 
. 18. 
.
19. 
. 20. 
. 21. 
.
22. 
. 23. 
.24. 
.
25. 
.
Задание №5
Найти производные функций:
1. 
. 2. 
. 3. 
.
4. 
. 5. 
. 6. 
.
7. 
. 8. 
. 9. 
.
10. 
. 11. 
. 12. 
.
13. 
. 14. 
. 15. 
.
16. 
. 17. 
. 18. 
.
19. 
. 20. 
. 21. 
. 22. 
. 23. 
.
24. 
. 25. 
.
Задание №6
6.1. Используя метод разложения найти интегралы:
1. 
. 2. 
. 3. 
. 4. 
.
5. 
. 6. 
. 7. 
.
8. 
. 9. 
.10. 
. 11. 
.
12. 
. 13. 
. 14. 
.
15. 
. 16. 
. 17. 
.
18. 
. 19. 
. 20. 
.
21. 
. 22. 
. 23. 
.
24. 
. 25. 
.
6.2. Используя метод замены переменной, найти интегралы:
1. 
. 2. 
. 3. 
. 4. 
. 5. 
.
6. 
. 7. 
. 8. 
. 9. 
. 10. 
. 11. 
. 12. 
. 13. 
.
14. 
. 15. 
. 16. 
. 17. 
.
18. 
. 20. 
. 21. 
. 22. 
.
23. 
. 24. 
. 25. 
.
6.3. Используя метод интегрирования по частям, вычислить интегралы:
1. 
. 2. 
. 3. 
. 4. 
.
5. 
. 6. 
. 7. 
. 8. 
.
9. 
. 10. 
. 11. 
.
12. 
. 13. 
. 14. 
. 15. 
.
16. 
. 17. 
. 18. 
.
19. 
. 20. 
. 21. 
.
22. 
. 23. 
. 24. 
. 25. 