Свойства кратных интегралов.

1°. Линейность: Множество RM функций интегрируемых на множестве М –линейное

пространство, а Свойства кратных интегралов. - student2.ru – линейный функционал.

Свойства кратных интегралов. - student2.ru .

2°. Условие нормировки: Свойства кратных интегралов. - student2.ru . Другая форма записи Свойства кратных интегралов. - student2.ru по сути дела определяет меру произвольного множества из евклидового пространства.

3°. Если интеграл по множеству Лебеговой меры ноль существует, то он

равен нулю.

Примечание: Множество М называется множеством Лебеговой меры ноль,

если Свойства кратных интегралов. - student2.ru Свойства кратных интегралов. - student2.ru такие, что Свойства кратных интегралов. - student2.ru и Свойства кратных интегралов. - student2.ru .

4°. а. Свойства кратных интегралов. - student2.ru ; б. Свойства кратных интегралов. - student2.ru ;

в. если Свойства кратных интегралов. - student2.ru и Свойства кратных интегралов. - student2.ru – отделена от нуля на М, то Свойства кратных интегралов. - student2.ru

5°. Свойства кратных интегралов. - student2.ru и f = g п.в. (почти всюду) на М, то Свойства кратных интегралов. - student2.ru .

6°. Аддитивность: Если Свойства кратных интегралов. - student2.ru и Свойства кратных интегралов. - student2.ru то

Свойства кратных интегралов. - student2.ru ,

В общем случае: Свойства кратных интегралов. - student2.ru .

Δ. Следует из равенства: Свойства кратных интегралов. - student2.ru

7°. Монотонность: Свойства кратных интегралов. - student2.ru и Свойства кратных интегралов. - student2.ru то Свойства кратных интегралов. - student2.ru .

8°. Интегрирование неравенств: если Свойства кратных интегралов. - student2.ru и Свойства кратных интегралов. - student2.ru то

Свойства кратных интегралов. - student2.ru .

9°. Пусть Свойства кратных интегралов. - student2.ru Свойства кратных интегралов. - student2.ru Свойства кратных интегралов. - student2.ru . Для того чтобы Свойства кратных интегралов. - student2.ru , необходимо и достаточно чтобы существовала внутренняя точка множества М, в которой f (x) > 0 и непрерывна.

10°. Интегрируемость модуля интегрируемой функции: Свойства кратных интегралов. - student2.ru .

11°. Теорема о среднем: Свойства кратных интегралов. - student2.ru , Свойства кратных интегралов. - student2.ru на М сохраняет знак и Свойства кратных интегралов. - student2.ru , то

Свойства кратных интегралов. - student2.ru Свойства кратных интегралов. - student2.ru .

Если множество М – связно и f (x) – непрерывна на Свойства кратных интегралов. - student2.ru то Свойства кратных интегралов. - student2.ru такое, что Свойства кратных интегралов. - student2.ru .

12°. Для того чтобы интеграл от неотрицательной функции был равен 0

необходимо и достаточно, чтобы f (x) = 0 почти всюду на М.

13°. Теорема Фубини. Для двойного интеграла:

Пусть область Свойства кратных интегралов. - student2.ru – прямоугольник: Свойства кратных интегралов. - student2.ru . Тогда, при условии существования внутренних однократных интегралов, для нахождения двойного интеграла можно перейти к повторному интегрированию (см. рис. а):

Свойства кратных интегралов. - student2.ru Свойства кратных интегралов. - student2.ru , или

Свойства кратных интегралов. - student2.ru .

Свойства кратных интегралов. - student2.ru Если область интегрирования не прямоугольник, теорема Фубини все равно справедлива и имеет вид (см. рис. б): Свойства кратных интегралов. - student2.ru . (*)

Примечание:Внешние пределы интегрирования должны быть константами, внутренние пределы интегрирования могут зависеть от переменной, по которой интегрирование ещё предстоит.

Формула (*) может быть получена с использованием характеристической функции множества D.

Для многократного интеграла:

Пусть Свойства кратных интегралов. - student2.ru и Свойства кратных интегралов. - student2.ru некоторые подмножества евклидовых пространств Свойства кратных интегралов. - student2.ru и Свойства кратных интегралов. - student2.ru . Определим декартово произведение этих множеств, являющееся подмножеством евклидового пространства Свойства кратных интегралов. - student2.ru : Свойства кратных интегралов. - student2.ru .

Тогда теорема Фубини для Свойства кратных интегралов. - student2.ru имеет вид: Свойства кратных интегралов. - student2.ru .

Теорема справедлива и для брусов X и Y, и для более сложных конфигураций.

Примеры:

10. Вычислить Свойства кратных интегралов. - student2.ru , если граница области Свойства кратных интегралов. - student2.ru задана уравнениями:

Свойства кратных интегралов. - student2.ru Свойства кратных интегралов. - student2.ru Свойства кратных интегралов. - student2.ru . Находя точки пересечения кривых определяющих границу области, получаем две точки : Свойства кратных интегралов. - student2.ru и Свойства кратных интегралов. - student2.ru . Тогда возможная расстановка пределов интегрирования при переходе к повторным интегралам дает:

а). Свойства кратных интегралов. - student2.ru ;

б). Свойства кратных интегралов. - student2.ru .

Свойства кратных интегралов. - student2.ru 20. Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле: Свойства кратных интегралов. - student2.ru .

Свойства кратных интегралов. - student2.ru

Свойства кратных интегралов. - student2.ru .

Рецепт: При расстановке пределов интегрирования в двойном интеграле рекомендуется начинать с внешних пределов интегрирования .

Свойства кратных интегралов. - student2.ru 30. Вычислить: Свойства кратных интегралов. - student2.ru , если Свойства кратных интегралов. - student2.ru

Переход к повторным интегралам даёт: Свойства кратных интегралов. - student2.ru .

При этом, в тройном интеграле расстановку пределов надо начинать с внутренних пределов интегрирования. Затем спроецировать область V на плоскость xOy

расставив пределы в области D – лежащей в плоскости xOy.

Свойства кратных интегралов. - student2.ru

40. Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле: Свойства кратных интегралов. - student2.ru .

а). Свойства кратных интегралов. - student2.ru ;

б). Свойства кратных интегралов. - student2.ru .

Наши рекомендации