РАЗДЕЛ 10. Кратные интегралы.

РАЗДЕЛ 10. Кратные интегралы.

НАЧАЛЬНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ

Def. Пусть , , .

Множество называется замкнутым промежутком или замкнутым брусом в .

Множество называется открытым промежутком

или открытым брусом в .

Def. Мерой промежутков и называется величина:

( Точнее ).

Def. Если такое, что то промежуток называется вырожденным и .

Свойства меры промежутка:

а). Положительность: , причем тогда и только тогда, когда – вырожден.

б). Положительная однородность: .

в). Аддитивность:

* для таких, что Þ ;

* для и Þ .

г). Монотонность меры: .

Def. Диаметром бруса (промежутка) называется величина:

Отметим, что и – это не одно и тоже. Например, если – вырожден, то , a (вообще говоря).

При этом: * ;

* ; * .

Def. Совокупность подпромежутков промежутка называется разбиением промежутка , если: * ;

* ; * ; * ; * .

Величина называется параметром разбиения P (при этом ).

Def. Разбиение называется измельчением разбиения , если все элементы разбиения получены разбиением элементов разбиения .

Обозначается: . Читается: мельче или крупнее .

Для отношения “ крупнее – мельче” справедливо:

*. транзитивность – ; *. ;

*. ; *. | .

Определение кратного интеграла

Пусть – брус (промежуток) в , – разбиение промежутка I. На каждом из промежутков разбиения отметим точку .

Получим разбиение с отмеченными точками для .

Величина называется интегральной суммой Римана для функции f (x) на промежутке I по разбиению с отмеченными точками .

Def: = = .

Обозначая – множество функций интегрируемых на брусе I запишем:

Def: ε > 0 δ > 0 < .

Если для функции f (x) на I и разбиения – обозначить через – наибольшее и наименьшее значение функции f (x) на I_k то величины = и = называются нижней и верхней суммами Дарбу.

§. Критерий Дарбу существования кратного интеграла.

Т⁰. Чтобы функция была интегрируема на брусе (т.е. ) необходимо и достаточно, чтобы . Δ▲.

Определено интегрирование функции по брусу в евклидовом пространстве. А как функцию проинтегрировать по произвольному ограниченному множеству из евклидового пространства?

Определим интеграл от функции f по множеству .

Def: Пусть и – ограничено, т.е. . Функцию назовём характеристической функцией множества M .

Тогда: ≡ .

Определение интеграла по множеству не зависит от того, какой брус, содержащий М выбран, т.е. .

Это обозначает, что определение интеграла по множеству корректно.

Необходимое условие интегрируемости.Чтобы функция f (x) на М была интегрируемой необходимо, чтобы f (x) была ограниченной на М. Δ▲.

От пути интегрирования.

Т⁰. Пусть функции P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z) определены и непрерывны в

области G , лежащей на гладкой поверхности S, и γ – граница области G.

Тогда эквивалентны следующие условия:

A^*). Для любого замкнутого контура γ в G ;

B^*). Для любых A,B є G не зависит от кривой, соединяющей

точки A и B, и лежащей в области G;

С^*). Выражение Pdx + Qdy + Rdz в G является полным дифференциалом

некоторой функции U(x, y, z), т.е. U = U(x, y, z) такая,что dU = Pdx+Qdy+Rdz;

D^*). Для функций P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z) в области G выполняются условия:

; ; .

При этом : (*)

Последнюю формулу можно назвать формулой Ньютона-Лейбница для криволинейных интегралов.

Замечание 1. (связь А^* и В^*). не зависит от кривой L, соединяющей точки А и В.

Замечание 2. (связь С^* и D^*).

Если U(x, y, z) такая, что ,

то , Þ ;

Þ ; Þ ^.

Замечание 3. В случае независимости криволинейного интеграла от пути

интегрирования, U(x, y, z) такая что:

.

Физикиназывают функцию U(x, y, z) потенциалом векторного поля , а поле F – потенциальным – “ Работа равна разности потенциалов”.

Математики называют функцию U(x, y, z) первообразной для Pdx+Qdy+Rdz –

интеграл равен разности первообразных в конце и начале пути.

Примеры:

1⁰.Вычислить для различных контуров γ.

а). Пусть контур γ ограничивающий область G таков, что не содержит т. (0,0). Для вычисления интеграла воспользуемся формулой Грина.

где,

, , , .

б). Пусть контур γ⁺ окружает точку (0,0). В этом случае нельзя применить формулу Грина ибо и в точке (0,0) не существуют.

Отметим, что все интегралы по таким контурам совпадают между собой.

Иллюстрация : Þ

Þ .

в). Тогда достаточно вычислить скажем, по окружности . .

г). Легко видеть, что .

Следовательно, , если контур не проходит через точку (0,0) т.к. начальная и конечная точки замкнутого контура совпадают.

2⁰. Найти первообразную, если:

.

Проверка показывает, что условия ; ; выполняются.

Таким образом, задача о нахождении первообразной поставлена корректно. Тогда,

1). и интегрирование по дает: .

Отсюда . Но из условия задачи.

2). Тогда Þ .

Интегрирование по дает .

Значит: .

Отсюда . Но из условия задачи .

3) Тогда Þ .

Итог: . Первообразная найдена с точностью до произвольного постоянного слагаемого. Большего и желать не приходится.

0

Пусть вЕ₃ задана поверхность : ;

, и на поверхности S задана вектор-функция

и, при этом .

Рассмотрим: .

Если такой предел существует и конечен, то он называется поверхностным интегралом 2-го рода и обозначается .

Физический смыслповерхностного интеграла 2-го рода – поток векторного поля через поверхность S в направлении нормали, определяемой вектором , т.е. стороной поверхности. Собственно говоря, это и есть определение потока векторного поля через поверхность.

Свойстваповерхностного интеграла 2-го рода:

1°. Интеграл меняет знак при изменении стороны поверхности, по которой идет интегрирование: .

2°. Связь с поверхностным интегралом 1 рода.

.

Здесь единичный вектор нормали к поверхности; – направляющие косинусы нормали к поверхности; , , ;

.

3°. Если помнить о том, что: ,

, , легко написать формулу для вычисления поверхностного интеграла 2-го рода

.

Примеры вычисления поверхностных интегралов 2 рода.

1°. Вычислить , где S – внешняя сторона сферы =

Вектор нормали был найден в предыдущем параграфе, в примере 3°.

.

Знак в выражении для берем так, чтобы в 1 октанте координаты вектора были положительными (внешняя сторона).

.

Вектор .

Тогда: =

= . ▲

2°. Вычислить , если S- внешняя сторона конуса

с крышкой z = 1.

Δ Поверхность интегрирования состоит из двух частей – боковой поверхности конуса и крышки. Поэтому: .

а). Для вычисления первого из них, отметим что и, следовательно:

.

б). Для вычисления второго из них, вспомним что для поверхности, заданной явно: . Знак выбран так, чтобы получить внешнюю нормаль к поверхности. Получаем:

.

Таким образом .

Скалярные поля.

Пусть задана область в евклидовом пространстве и в задана функция . Тогда говорят, что в задано скалярное поле (синоним: функция трех переменных). Поверхности называются поверхностями уровня скалярного поля.

Пусть задан вектор с известными направляющими косинусами .

Производной скалярного поля по направлению называется величина:

.

Запишем параметрическое уравнение прямой :

;

Тогда на этой прямой:

и тогда:

.

Вводя вектор получим: .

Из делаем вывод, что вектор указывает направление максимального роста поля и по величине равен скорости роста поля в этом направлении.

Такое определение является инвариантным относительно системы координат.

Если для векторного поля существует скалярное поле такое, что то поле называется потенциальным полем а скалярное поле называется его потенциалом.

Необходимое и достаточное условие потенциальности поля :

.

Векторные поля.

Пусть задана область в евклидовом пространстве , и в задана векторная функция . Тогда, говорят что в задано векторное поле.

Def: Линии в пространстве в каждой точке которых векторное поле направлено по касательной к данной линии называется векторными линиями поля (силовыми линиями, линиями тока).

Векторные линии можно найти исходя из системы дифференциальных уравнений векторных линий: , например для : Þ – прямые, проходящие через начало координат.

Теорема Стокса.

Пусть в заданы функции , непрерывные вместе со своими первыми производными Пусть замкнутый контур в , а –поверхность в натянутая на контур , причем одинаково взаимно ориентированы. Тогда:

= =

= .

∆. Интеграл по замкнутому контуру называется циркуляцией векторного поля.

а). Пусть .

б), в) Аналогично:

, .

Суммируя полученные три формулы, получаем формулу Стокса. ▲.

Def: Вектор с координатами называется ротором векторного поля . ,

и тогда формула Стокса запишется так: .

Рассмотрим , и , найдем:

следовательно:

Получили инвариантное относительно системы координат определение :

Проекция ротора векторного поля на вектор нормали к поверхности определяется пределом отношения циркуляции вдоль замкнутого контура к мере поверхности ограниченной данным контуром, когда контур стягивается в точку. И теорема Стокса:

Циркуляция векторного поля вдоль контура есть сумма циркуляций поля в точках расположенных на поверхности , краем которой является контур .

РАЗДЕЛ 10. Кратные интегралы.

НАЧАЛЬНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ

Def. Пусть , , .

Множество называется замкнутым промежутком или замкнутым брусом в .

Множество называется открытым промежутком

или открытым брусом в .

Def. Мерой промежутков и называется величина:

( Точнее ).

Def. Если такое, что то промежуток называется вырожденным и .

Свойства меры промежутка:

а). Положительность: , причем тогда и только тогда, когда – вырожден.

б). Положительная однородность: .

в). Аддитивность:

* для таких, что Þ ;

* для и Þ .

г). Монотонность меры: .

Def. Диаметром бруса (промежутка) называется величина:

Отметим, что и – это не одно и тоже. Например, если – вырожден, то , a (вообще говоря).

При этом: * ;

* ; * .

Def. Совокупность подпромежутков промежутка называется разбиением промежутка , если: * ;

* ; * ; * ; * .

Величина называется параметром разбиения P (при этом ).

Def. Разбиение называется измельчением разбиения , если все элементы разбиения получены разбиением элементов разбиения .

Обозначается: . Читается: мельче или крупнее .

Для отношения “ крупнее – мельче” справедливо:

*. транзитивность – ; *. ;

*. ; *. | .