Свойства двойных интегралов

(а) Линейность.

Свойства двойных интегралов - student2.ru

(Имеется в виду, что если существуют оба интеграла в правой части, то существует интеграл и в левой части).

(б) Аддитивность. Если область V есть объединение областей V1и V2,пересекающихся только по своей обшей границе,то

Свойства двойных интегралов - student2.ru

(Аналогично, если существуют оба интеграла в правой части, то существует интеграл и в левой части).

(в) Интеграл от константы. Двойной интеграл от константы по области V равен произведению этой константы на площадь области V Свойства двойных интегралов - student2.ru , если C = const.

(г) Переход к неравенству. Если для всех точек Свойства двойных интегралов - student2.ru верно неравенство f(x, y) ≤ g(x, y),то

Свойства двойных интегралов - student2.ru

(л) Теорема об оценке. Если числа m1и m2 таковы, что для всех точек Свойства двойных интегралов - student2.ru верны неравенства m1 ≤ f(x, y, z) ≤ m2, то Свойства двойных интегралов - student2.ru

Определение. Средним значением функции f(x, y, z) на множестве V называется число Свойства двойных интегралов - student2.ru

(ж) Теорема о среднем. Если множество V замкнуто, ограниченно и связно, а функция f(x, y, z)непрерывна на множестве D, то найдется точка Свойства двойных интегралов - student2.ru такая, что Свойства двойных интегралов - student2.ru , т.е. такая, что Свойства двойных интегралов - student2.ru

Теорема. Если функция f(x y, z)непрерывна в кубируемой области V, то она интегрируема в этой области.

(Далее будем рассматривать только непрерывные функции).

Определение. Область V − правильная в направлении оси Oz, если:

1) всякая прямая, параллельная оси Oz, проведенная через внутреннюю (т. е. не лежащую на границе S)точку области V, пересекает поверхность S в двух точках.

2) вся область V проектируется на плоскость Оху в правильную (двумерную) область D;

3) всякая часть области V, отсеченная плоскостью, параллельной любой из координатных плоскостей (Oxy, Oxz, Oyz), также обладает свойствами 1) и 2).

Свойства двойных интегралов - student2.ru Пусть поверхность, ограничивающая область V снизу, имеет уравнение Свойства двойных интегралов - student2.ru , а поверхность, ограничивающая эту область сверху, имеет уравнение Свойства двойных интегралов - student2.ru .

Введем понятие трехкратного интеграла IV по области V от функции трех переменных f(x, у, z), определенной и непрерывной в области V. Предположим, что область D − проекция области V на плоскость Оху − ограничена линиями

Свойства двойных интегралов - student2.ru .

Определение. Тогда трехкратный интеграл от функции f(x, у, z)по области V определяется так:

Свойства двойных интегралов - student2.ru

Наши рекомендации