Свойства двойных интегралов

Задача, приводящая к понятию двойного интеграла.

Предположим, что на Свойства двойных интегралов - student2.ru определена функция Свойства двойных интегралов - student2.ru частей Свойства двойных интегралов - student2.ru и запишем сумму

(17.1)

Свойства двойных интегралов - student2.ru

которая именуется интегральной.

О: Под определенным интегралом (о.и.) от функции Свойства двойных интегралов - student2.ru и от выбора Свойства двойных интегралов - student2.ru

Обозначение: Свойства двойных интегралов - student2.ru

Числа Свойства двойных интегралов - student2.ru именуют интегрируемой (по Риману) на Свойства двойных интегралов - student2.ru .

Т. существования: При условии, что Свойства двойных интегралов - student2.ru .

В соответствии с определением о.и. отметим, что интеграл имеет зависимость от вида Свойства двойных интегралов - student2.ru , пределов Свойства двойных интегралов - student2.ru и Свойства двойных интегралов - student2.ru , однако не зависит от символа обозначения переменной Свойства двойных интегралов - student2.ru , иначе выражаясь

(17.2)

Свойства двойных интегралов - student2.ru

В соответствии с п.17.1.1 и 17.1.2 и определением о.и. запишем формулы площади криволинейной трапеции: Свойства двойных интегралов - student2.ru , работы силы Свойства двойных интегралов - student2.ru

на Свойства двойных интегралов - student2.ru : Свойства двойных интегралов - student2.ru

Понятие двойного интеграла, интегральных сумм.

Существование двойного интеграла, т. е. предела интегральной суммы для кажется очевидным, так как этот предел дает объем цилиндрического тела. Однако это рассуждение не является строгим. В более полных курсах это утверждение строго доказывается и носит название теоремы существования двойного интеграла.

Свойства двойных интегралов - student2.ru

Рис. 230

Теорема существования. Для всякой функции , непрерывной в ограниченной замкнутой области, имеющей площадь а, существует двойной интеграл, т. е. существует предел интегральных сумм при неограниченном увеличении числа малых площадок при условии, что каждая из них стягивается в точку. Этот предел не зависит ни от способа разбиения области а на части ни от выбора точек

В дальнейшем мы будем рассматривать только функции, непрерывные в области интегрирования.

Из теоремы существования следует, что мы можем, например, разбить область а на малые прямоугольники со сторонами прямыми, параллельными осям координат (рис. 230). При этом . Выбирая затем в каждом малом прямоугольнике по точке мы можем написать, согласно определению двойного интеграла

Свойства двойных интегралов - student2.ru

Для того чтобы подчеркнуть, что двойной интеграл можно получить как предел суммы вида вместо обозначения употребляют также обозначение

Итак,

Свойства двойных интегралов - student2.ru

Выражение называется элементом площади в декартовых координатах и равно площади прямоугольника со сторонами параллельными координатным осям.

Заметим, что при составлении интегральной суммы площадки прилегающие к границе области а, не имеют формы прямоугольников. Однако можно доказать, что ошибка от замены таких площадок прямоугольниками с площадями в пределе сведется к нулю.

Свойства двойных интегралов

Свойства двойного интеграла (и их вывод) аналогичны соответствующим свойствам однократного определенного интеграла.

1°. Аддитивность. Если функция f(x, y) интегрируема в области D и если область D при помощи кривой Г площади нуль разбивается на две связные и не имеющие общих внутренних точек области D1 и D2, то функция f(x, y) интегрируема в каждой из областей D1 и D2, причем

Свойства двойных интегралов - student2.ru Свойства двойных интегралов - student2.ru Свойства двойных интегралов - student2.ru Свойства двойных интегралов - student2.ru

2°. Линейное свойство. Если функции f(x, y) и g(x, y) интегрируемы в области D, а α и β - любые вещественные числа, то функция [α · f(x, y) + β · g(x, y)] также интегрируема в области D, причем

Свойства двойных интегралов - student2.ru Свойства двойных интегралов - student2.ru Свойства двойных интегралов - student2.ru Свойства двойных интегралов - student2.ru Свойства двойных интегралов - student2.ru

3°. Если функции f(x, y) и g(x, y) интегрируемы в области D, то и произведение этих функций интегрируемо в D.

4°. Если функции f(x, y) и g(x, y) обе интегрируемы в области D и всюду в этой области f(x, y) ≤ g(x, y), то

Свойства двойных интегралов - student2.ru Свойства двойных интегралов - student2.ru Свойства двойных интегралов - student2.ru

5°. Если функция f(x, y) интегрируема в области D, то и функция |f(x, y)| интегрируема в области D, причем

Свойства двойных интегралов - student2.ru Свойства двойных интегралов - student2.ru Свойства двойных интегралов - student2.ru

(Конечно, из интегрируемости |f(x, y)| в D не вытекает интегрируемость f(x, y) в D.)

6°. Теорема о среднем значении. Если обе функции f(x, y) и g(x, y) интегрируемы в области D, функция g(x, y) неотрицательна (неположительна) всюду в этой области, M и m - точная верхняя и точная нижняя грани функции f(x, y) в области D, то найдется число μ, удовлетворяющее неравенству m ≤ μ ≤ M и такое, что справедлива формула

Свойства двойных интегралов - student2.ru Свойства двойных интегралов - student2.ru Свойства двойных интегралов - student2.ru Свойства двойных интегралов - student2.ru (11)

В частности, если функция f(x, y) непрерывна в D, а область D связна, то в этой области найдется такая точка (ξ, η), что μ = f(ξ, η), и формула (11) принимает вид

Свойства двойных интегралов - student2.ru Свойства двойных интегралов - student2.ru Свойства двойных интегралов - student2.ru Свойства двойных интегралов - student2.ru

7°. Важное геометрическое свойство. Свойства двойных интегралов - student2.ru равен площади области D (Это свойство, как уже отмечалось ранее, непосредственно вытекает из определения интегрируемости, данного в пункте Определение и существование двойного интеграла для произвольной области)

Наши рекомендации