Сопротивление материалов. Задания и методические указания для выполнения расчетно-графических работ

Пример решения задачи № 7

На рисунке 25 изображена двухопорная балка, рассчитанная в примере решения задачи № 3.

Рисунок 25 – Схема двухопорной балки

Для определения линейных и угловых перемещений поперечных сечений балок можно использовать интеграл перемещений или интеграл Мора:

, (15)

где – линейное перемещение по направлению фиктивной (единичной) силы «К», (измеряется в метрах), или угловое перемещение по направлению фиктивного (единичного) момента «К», (измеряется в радианах), от действия приложенной внешней нагрузки «Р»;

n – количество участков балки, на которых аналитические выражения и различны;

l – длина i-го участка балки, м;

– изгибающий момент как функция координаты сечения балки от действительной (внешней) нагрузки «Р», ;

– изгибающий момент как функция координаты сечения балки от фиктивной (единичной) силы «К», м или от фиктивного (единичного) момента «К», безразмерный;

Е – модуль упругости материала, Па;

I – момент инерции поперечного сечения балки, м⁴.

Состояние балки от воздействия внешней нагрузки называется действительным или грузовым, а эпюра изгибающих моментов – действительной или грузовой.

Фиктивная (единичная) сила – сила, приложенная к сечению балки, линейное перемещение которого определяем в направлении искомого перемещения, и равная единице. Фиктивный (единичный) момент, приложенный к сечению балки, угловое перемещение которого определяем в направлении искомого перемещения, и равный единице. Состояние балки от воздействия фиктивной (единичной) силы или фиктивного (единичного) момента называется фиктивным или единичным, а эпюра – фиктивной или единичной.

Вместо непосредственного вычисления интеграла Мора воспользуемся приемом «перемножения эпюр». Для «перемножения эпюр» применим формулу Симпсона:

(16)

где – ординаты грузовой эпюры соответственно в начале, середине и конце i-го участка, ;

– ординаты единичной эпюры соответственно в начале, середине и конце i-го участка эпюры, м или безразмерные.

Если ординаты грузовой и единичной эпюры лежат по одну сторону от нулевой линии, то их произведение положительно, а если по разные, то отрицательно.

Таким образом, задача по определению перемещений в балках сводится к построению эпюр изгибающих моментов от действительных и единичных нагрузок и простейшему арифметическому расчету.

По известной методике определим изгибающий момент в характерных сечениях балки и построим грузовую эпюру (рисунок 26). Вычислим и отметим на эпюре значения моментов в середине каждого участка эпюры.

Для определения прогиба рассмотрим первое единичное состояние. Предположим, что левое торцовое сечение балки переместится вниз. Приложим к этому сечению единичную силу, направив её вниз перпендикулярно продольной оси Х. Найдем реакции в опорах и построим единичную эпюру (рисунок 26).

Для нахождения угла поворота рассмотрим второе единичное состояние. Предположим, что под действием внешних нагрузок левое торцовое сечение балки повернется по ходу часовой стрелки. Приложим к этому сечению единичный момент, направив его по ходу часовой стрелки. Найдем реакции в опорах и построим вторую единичную эпюру (рисунок 26).

Подсчитаем и отметим на единичных эпюрах значения изгибающих моментов в тех же сечениях, что и на грузовой эпюре.

По условию задачи .

По ГОСТ 8239-89 .

Вычислим прогиб у левого торцового сечения балки:

Положительный знак прогиба указывает на то, что сечение перемещается в направлении единичной силы (вниз).

Рисунок 26 – Расчетные схемы двухопорной балки и эпюры

изгибающих моментов

Вычислим угол поворота j левого торцового сечения балки:

Отрицательный знак угла поворота говорит о том, что сечение поворачивается в направлении, противоположном направлению единичного момента (против хода часовой стрелки).

Покажем графически прогиб и угол поворота торцового сечения балки (рисунок 27).

Рисунок 27 – Схема перемещений левого торцового сечения балки

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1 Степин П. А. Сопротивление материалов: Учебник. 11-е изд., стер. - СПб.: Издательство «Лань», 2010. - 320 с.

2 Александров А. В. Сопротивление материалов: Учеб. для вузов. 3-е изд. испр. - М.: Высшая школа, 2003. - 560 с.

3 Молотников В. Я. Курс сопротивления материалов: Учебное пособие. - СПб.: Издательство «Лань», 2006. - 384 с.

4 Оплетаев С. И., Трубин В. А. Построение эпюр внутренних усилий: Методические указания. - Курган: ООО НЦСП «Экономика и реформы», 2008. - 24 с.

ПРИЛОЖЕНИЯ
Приложение А

Пример оформления титульного листа

ФГБОУ ВПО «КУРГАНСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ СЕЛЬСКОХОЗЯЙСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ ИМЕНИ Т.С. МАЛЬЦЕВА»

ФАКУЛЬТЕТ	Инженерный
КАФЕДРА	Теоретической механики

РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКАЯ РАБОТА

ПО СОПРОТИВЛЕНИЮ МАТРИАЛОВ № 2

ВАРИАНТ 56

ВЫПОЛНИЛ	Иванов Павел Петрович
ОТДЕЛЕНИЕ	Заочное ускоренное
НАПРАВЛЕНИЕ ПОДГОТОВКИ	Агроинженерия
КУРС		ГРУППА
ПРОВЕРИЛ

КУРГАН - 2013

Приложение Б

Пример оформления задачи

ЗАДАЧА №1

Растяжение и сжатие стержней

Для заданной шарнирно-стержневой системы требуется:

1 Проверить прочность растянутого (сжатого) стержня АВ (материал – сталь Ст 3) указанного поперечного сечения по нормальным напряжениям, если [s]=160 МПа.

2 Подобрать сечение стержня АВ (материал – сталь Ст 3) в виде равнополочного уголка из условия наименьшего расхода материала, если [s]=160 МПа. Вычислить коэффициент запаса прочности по отношению к пределу текучести, если s_Т = 240 МПа.

3 Определить удлинение (укорочение) подобранного растянутого (сжатого) стержня АВ, если Е = 2×10⁵ МПа.

Решение

Стержень АВ шарнирно-стержневой системы работает на растяжение или сжатие. Условие прочности по нормальным напряжениям при растяжении или сжатии:

.

Для определения продольной силы составим расчетную схему шарнирно-стержневой системы.

Уравнение моментов сил относительно точки (опоры) С:

;

.

Стержень АВ растягивается.

По ГОСТ 8510-86 (Уголки стальные горячекатаные неравнополочные) площадь поперечного сечения стержня АВ: .

Наибольшее нормальное напряжение в стержне АВ:

.

Условие прочности не выполняется.

Требуемая площадь поперечного сечения стержня АВ:

.

По ГОСТ 8509-93 (Уголки стальные горячекатаные равнополочные) выберем уголок с ближайшей большей площадью поперечного сечения. Это – равнополочный уголок 50´50´4 с площадью поперечного сечения .

Абсолютное значение наибольшего нормального напряжения в стержне АВ:

.

Условие прочности выполняется.

Коэффициент запаса прочности стержня АВ по отношению к пределу текучести:

.

Величина находится в рекомендуемом в общем машиностроении диапазоне значений от 1,5 до 2,0.

Длина стержня АВ:

.

Абсолютное удлинение стержня АВ:

.

Сопротивление материалов. Задания и методические указания для выполнения расчетно-графических работ

Оплетаев Сергей Иванович

Трубин Владимир Александрович

Королев Александр Евгеньевич

Смолин Александр Михайлович