Расчет элементов теоретического чертежа

Для изучения навигационных качеств судна необходимо знать величины, от которых они зависят. К таким величинам относится группа показателей, характеризующих геометрию корпуса судна и называемых – элементы теоретического чертежа; последние также называют – гидростатические показатели судна.

К элементам теоретического чертежа относят:

	V	–	объемное водоизмещение, м3;
	zс	–	аппликата центра тяжести погруженного объема корпуса (аппликата центра величины – ЦВ), м;
	хс	–	абсцисса ЦВ, м;
	хf	–	абсцисса центра тяжести площади ватерлинии, м;
	S	–	площадь ватерлинии, м2;
	w	–	погруженная площадь шпангоута, м2;
d,a,b	–	коэффициенты полноты: водоизмещения, площади ватерлинии и погруженной площади шпангоута соответственно;
	Ix	–	момент инерции площади ватерлинии относительно продольной оси 0Х, м4;
	If	–	момент инерции площади ватерлинии относительно поперечной оси, проходящей через ее центр тяжести, м4;
	r	–	малый (поперечный) метацентрический радиус, м;
	R	–	большой (продольный) метацентрический радиус, м.

Элементы теоретического чертежа принято делить на две группы: элементы плавучести (V, S, w, z_с, х_c, х_f, a, d, b) и элементы начальной остойчивости (I_x, I_f, r, R). Применение элементов плавучести показано в разделе «Плавучесть» настоящего пособия.

Основным параметром, характеризующим посадку судна (положение судна относительно воды), является его заглубление (z). При отсутствии крена и дифферента (посадка прямо и на ровный киль) заглубление является единственным параметром посадки, а при произвольной посадке – основным параметром. С учетом отмеченного, значения элементов теоретического чертежа принято представлять в виде зависимостей (кривых) от погружения (рис. 1.10).

На рис. 1.10 не представлена зависимость изменения погруженной площади шпангоутов (w). В качестве базы (аргумента) для представления изменения w принимается длина ватерлинии (L) при некотором значении погружения (z). График такой зависимости (рис. 1.11) называется строевая по шпангоутам.

Общие выражения для элементов плавучести. Для вычисления объемного водоизмещения, координат центра величины и других элементов плавучести используется теоретический чертеж.

Выделим из подводного объема корпуса двумя плоскостями шпангоутов, отстоящих на бесконечно малую величину dx элемент этого объема (рис. 1.12, а). Объем такого элемента будет w · dx, а погруженный объем судна определится интегрированием этого выражения по длине судна

		(1.4)

Рис. 1.10. Кривые элементов теоретического чертежа*)

Рис. 1.11. Строевая по шпангоутам

Для определения абсциссы центра величины (х_с) воспользуемся теоремой о том, что статический момент объема (V) относительно миделя равен суммарному моменту его элементов, т.е.

(1.5)

Из (1.5) получим

(1.6)

Рис. 1.12. К определению водоизмещения и координат центра величины

Рассмотрим элемент подводного объема, ограниченный плоскостями двух ватерлиний отстоящих на расстоянии z и z + dz от основной плоскости (см. рис. 1.12, б). Объем выделенного элемента будет S · dz, а погруженный объем корпуса по ватерлинию при осадке Т будет

(1.7)

Аппликата центра величины определится, аналогично (1.6), через статический момент объема относительно основной плоскости

(1.8)

В полученные выражения входят площади шпангоутов и площади ватерлиний, которые вычисляются по их ординатам «у», снятым с теоретического чертежа.

Погруженная площадь шпангоута (рис. 1.13) определяется интегрированием элементарных площадок y · dz в пределах осадки судна, т.е.

(1.9)

Рис. 1.13. К определению площади шпангоута

Площадь ватерлинии определяется интегрированием элементарных площадок y · dx (рис. 1.14) по длине ватерлинии, т.е.

(1.10)

Рис. 1.14. К определению площади ватерлинии и абсциссы ее центра тяжести

В формулах (1.9) и (1.10) присутствует сомножитель 2, т.к. ордината (у) измеряется от ДП на один борт.

Абсцисса центра тяжести площади ватерлинии, определяющая положение этого центра (точка F на рис. 1.14) относительно миделя, находится как

(1.11)

где	Мх	–	статический момент площади ватерлинии относительно оси 0У;
	S	–	площадь ватерлинии.

Статический момент элементарной площадки (см. рис. 1.14) относительно оси 0У равен ; а для всей площади ватерлинии будем иметь

(1.12)

С учетом (1.12) выражение (1.11) будет иметь вид

(1.13)

Объемное водоизмещение судна можно определить с использованием площадей шпангоутов по формуле (1.4) или площадей ватерлинии по формуле (1.7), а также с использованием ординат точек теоретической поверхности корпуса.

Так, если в формуле (1.4) площадь шпангоута заменить ее выражением (1.9) получим

(1.14)

Аналогично, если в формуле (1.7) площадь ватерлинии заменить ее выражением (1.10) будем иметь

(1.15)

Общие выражения для определения коэффициентов полноты a, b, d, относящихся к элементам плавучести, представлены формулами (1.1) (1.2) и (1.3); применение последних возможно при известных значениях (S, V и w).

Представленные выше общие выражения для определения элементов плавучести содержат определенный интеграл, который может иметь точное решение, если функция задана аналитически.

Зависимости, описывающие теоретическую поверхность корпуса судна, задаются в виде чертежа, т.е. в графическом виде. В этом случае определенный интеграл вычисляют по приближенным формулам (формулам квадратур). В расчетах по теории корабля формулы квадратур называют правилами. В практике судостроительных расчетов получили распространение три правила: правило трапеций, правило Симпсона и правило Чебышева. Достоинство правила трапеций – простота и наглядность; оно широко используется на практике.

Правило трапеций. Суть этого правила и его применение для расчета элементов плавучести представлены ниже.

Если необходимо вычислить определенный интеграл вида , а подинтегральная функция y=f(x) задана в виде кривой (рис. 1.15), то геометрическим выражением интеграла будет площадь (А), ограниченная заданной кривой, осью абсцисс и концевыми ординатами. Для приближенного вычисления площади она делится на ряд трапеций с одинаковой высотой; в таком случае вычисление интеграла сводится к определению площади, ограниченной ломаной линией, т.е. к вычислению суммы площадей трапеций, основаниями которых являются ординаты у₀, y₁, … y_n:

≃

где – высота трапеции; n – число интервалов.

Так как половина каждой ординаты, кроме крайних, входит в полученное выражение дважды, формула может быть преобразована к виду

≃ .

(1.16)

Рис. 1.15. Применение правила трапеций к вычислению площадей

Обозначим полную сумму всех ординат, включая крайние, как

,

(1.17)

а полусумму крайних ординат, называемую поправкой к сумме, как

.

(1.18)

С учетом (1.17) и (1.18), часть выражения (1.16), заключенная в скобках, будет представлять собой исправленную сумму ординат кривой, т.е.

В результате, формулу для приближенного расчета площади по правилу трапеций можно представить в виде

≃ .

(1.19)

Правило трапеций может быть применено для вычисления любых определенных интегралов, при этом подинтегральная функция y = f(x) может иметь любой геометрический или физический смысл.

Расчет площади шпангоута. Шпангоут задается его очертанием на проекции «корпус» теоретического чертежа (см. рис. 1.13). по правилу трапеций площадь шпангоута определяется как сумма площадей трапеций с одинаковой высотой , т.е.

.

(1.20)

После преобразований и принятых по правилу трапеций обозначений (1.16) – (1.18) выражение (1.20) можно представить в виде

,

(1.21)

где	к	–	номер ватерлинии по которую определяется площадь шпангоута;
		–	исправленная сумма ординат (j – номер ватерлинии).

На рис. 1.13 по ватерлинии j = 0 введена исправленная ордината (у₀); правила построения исправленных (приведенных) ординат даны в [3].

Расчет площади ватерлинии и абсциссы ее центра тяжести. Площадь ватерлинии по правилу трапеций вычисляется по формуле

,

(1.22)

где	DL	–	интервал между шпангоутами, т.е. теоретическая шпация (см. рис. 1.14);
		–	исправленная сумма ординат ватерлинии; где n, n¢ – номера крайних носового и кормового шпангоутов, которые пересекает данная ватерлиния; i – номер шпангоута: принято для носовой части ватерлинии – i, для кормовой – i¢ (см. рис. 1.14).

Абсцисса центра тяжести площади ватерлинии (х_f) определяет положение этого центра (точка F на рис. 1.14) относительно оси 0У. Общие выражения для этого показателя представлены формулами (1.11) (1.12) и (1.13). Необходимый для определения х_f статический момент (М_х) площади ватерлинии относительно оси 0У, по правилу трапеций можно представить в следующем виде

,

(1.23)

где

,

(1.24)

где	i, i¢	–	номер носового и кормового шпангоутов, равноудаленных от миделя;
	n, n¢	–	номер крайнего носового и кормового шпангоутов соответственно.

Подстановка (1.24) в (1.23) позволяет, в итоге, получить следующее выражение

.

(1.25)

Для вычисления абсциссы центра тяжести площади ватерлинии с учетом (1.11) (1.22) и (1.25) будем иметь

≃

(1.26)

Вычисление x_f с помощью формулы (1.26) производится по схеме табл. 1.2.

Таблица 1.2