Тогда и несобственный интеграл сходятся или расходятся одновременно
ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ
Методические указания и индивидуальные задания.
Новочеркасск 2006
УДК 514.742 (076.5)
Рецензент д-р техн. наук, проф. Ю.С.Сысоев
Составители: Шпонарская С.Н., Афиногенова М.А., Маневич В.В.,
Батаков А.И., Гладун К.К., Филиппова И.М.,
Лисичкина О.М., Дудник Л.В.
Числовые ряды: Методические указания и индивидуальные задания /Волгодонский ин-т ЮРГТУ. ─ Новочеркасск: ЮРГТУ, 2006.- 30 c.
Данный дидактический материал предназначен для организации самостоятельной работы студентов второго курса как дневной, так и вечерней форм обучения, выполняющих индивидуальные домашние задания по числовым рядам. Задачи, входящие в индивидуальные домашние задания, представлены в 30 вариантах.
Ó Волгодонский ин-т ЮРГТУ , 2006
Ó Коллектив авторов , 2006
ЧИСЛОВОЙ РЯД. СХОДИМОСТЬ ЧИСЛОВОГО РЯДА
Выражение вида 
(1)
где 
─ числа, называется числовым рядом.
Числа 
; 
;…; ; … ― члены ряда; число ― общий член ряда.
Последовательность 
; 
;…; 
называется последовательностью частичных сумм, а 
― п-й частичной суммой ряда.
Если 
существует и равен числу S, т.е. 
, то ряд (1) называется сходящимся, а S – его суммой. Если не существует или бесконечен, то ряд (1) называется расходящимся и суммы не имеет.
Пример 1. Дан ряд 
. Установить сходимость этого ряда и найти его сумму.
Решение. Представим общий член ряда 
в виде суммы простых дробей методом неопределённых коэффициентов.
Корни квадратного трёхчлена 
:
, 
, 
,
;
,
; 
.
Следовательно, 
.
Запишем п-ю частичную сумму ряда и преобразуем её:
Поскольку 
, то данный ряд сходится и его сумма S= 
.
Ответ: сходится; S= .
Необходимый признак сходимости ряда
Если числовой ряд 
сходится, то 
.
Замечание. Обратное утверждение не верно.
Достаточный признак расходимости ряда
Если 
, то числовой ряд 
расходится.
Пример 2. Исследовать ряды на сходимость:
а) 
.
Решение. Общий член ряда 
. Так как 
то ряд расходится по достаточному признаку расходимости.
Ответ: расходится.
б) 
.
Решение. Общий член ряда 
.
Так как 
то данный ряд расходится по достаточному признаку расходимости.
Ответ: расходится.
ПРИЗНАКИ СХОДИМОСТИ ЧИСЛОВЫХ РЯДОВ
С ПОЛОЖИТЕЛЬНЫМИ ЧЛЕНАМИ
Первый признак сравнения
Даны два ряда с положительными членами 
(1) и 
(2) и, начиная с некоторого номера 
, выполняется неравенство 
. Тогда из сходимости ряда (2) следует сходимость ряда (1); из расходимости ряда (1) следует расходимость ряда (2).
Второй признак сравнения (предельный)
Даны два ряда с положительными членами (1) и (2) и существует конечный 
, равный числу А ( 
0), тогда ряды (1) и (2) сходятся или расходятся одновременно.
В качестве рядов для сравнения целесообразно выбирать:
1) ряд из членов геометрической прогрессии 
, который сходится при 
и расходится при 
.
2) обобщенный гармонический ряд 
, где p>0, который сходится при 
и расходится при 
.
Пример 3. Исследовать ряды на сходимость:
а) 
.
Решение. Так как 
> 
, то, перейдя к обратным выражениям, получим 
. Для сравнения возьмем сходящийся обобщенный гармонический ряд 
. 
; 
. Так как 
, то по первому признаку сравнения из сходимости 
следует сходимость ряда . Итак, исходный ряд сходится (его члены меньше членов сходящегося ряда).
Ответ: сходится.
б) 
.
Решение. Так как 
, то, перейдя к обратным выражениям, получим 
. Для сравнения возьмем расходящийся обобщенный гармонический ряд 
. 
; 
.
Так как 
, то по первому признаку сравнения из расходимости 
следует расходимость ряда 
. Итак, исходный ряд расходится (его члены больше членов расходящегося ряда).
Ответ: расходится.
в) 
.
Решение. Так как 
, то, перейдя к обратным выражениям и домножив обе части неравенства на 
, получим 
. Для сравнения возьмём сходящийся ряд из членов геометрической прогрессии 
, 
: 
; 
.
Так как , то по первому признаку сравнения из сходимости следует сходимость .
Исходный ряд сходится (его члены меньше членов сходящегося ряда).
Ответ: сходится.
Пример 4. Исследовать ряды на сходимость:
а) 
.
Решение. Общий член ряда 
.
Для сравнения возьмём расходящийся обобщенный гармонический ряд 
( 
) с общим членом 
.
Вычислим 
Так как этот предел – число ( 0), то оба ряда расходятся одновременно по второму признаку сравнения.
Ответ: расходится.
б) 
.
Решение. Общий член ряда 
.
Сравним ряд со сходящимся обобщенным гармоническим рядом 
с общим членом 
.
Вычислим 
= 
= 
.
Так как этот предел – число ( 
0), то по второму признаку сравнения оба ряда сходятся одновременно.
Ответ: сходится.
в) 
.
Решение. Общий член ряда 
.
Сравним этот ряд со сходящимся рядом из членов геометрической прогрессии 
с общим членом 
.
Вычислим 
0.
Так как этот предел – число ( 0), то по второму признаку сравнения оба ряда сходятся одновременно.
Ответ: сходится.
Признак Даламбера
Пусть дан ряд с положительными членами 
и существует предел 
.
Тогда: 1) при D < 1 ряд сходится;
2) при D > 1 ряд расходится
( при D = 1 признак Даламбера не дает ответа о сходимости ряда).
Пример 5. Исследовать ряды на сходимость:
а) 
.
Решение. 
; 
.
Вычислим 
.
Следовательно, ряд сходится по признаку Даламбера.
Ответ: сходится.
б) 
.
Решение. 
; 
.
Вычислим 
>1.
Следовательно, ряд расходится по признаку Даламбера.
Ответ: расходится.
в) 
.
Решение. 
; 
.
Вычислим 
.
Следовательно, ряд сходится по признаку Даламбера.
Ответ: сходится.
Радикальный признак Коши
Пусть дан ряд с положительными членами и существует предел 
.
Тогда: 1) при С < 1 ряд сходится;
2) при С > 1 ряд расходится
( при С = 1 признак не дает ответа о сходимости ряда).
Пример 6. Исследовать ряды на сходимость:
а) 
.
Решение. Общий член ряда 
.
Вычислим 
> .
Следовательно, ряд расходится по радикальному признаку Коши.
Ответ: расходится.
б) 
.
Решение. Общий член ряда 
.
Вычислим 
.
Следовательно, ряд сходится по радикальному признаку Коши.
Ответ: сходится.
в) 
.
Решение. Общий член ряда 
.
Вычислим
.
Следовательно, ряд сходится по радикальному признаку Коши.
Ответ: сходится.
Интегральный признак Коши
Пусть дан ряд с положительными членами такой, что члены ряда монотонно убывают 
и функция 
, непрерывная при 
такая, что 
.
Тогда и несобственный интеграл сходятся или расходятся одновременно.
Пример 7. Исследовать ряды на сходимость:
а) 
.
Решение. Положим 
. Эта функция удовлетворяет всем требованиям интегрального признака Коши.
Рассмотрим несобственный интеграл.
― число.
Tак как несобственный интеграл сходится, то и исходный ряд сходится по интегральному признаку Коши.
Ответ: сходится.
б) 
.
Решение. Положим 
. Эта функция удовлетворяет всем требованиям интегрального признака Коши.
Рассмотрим несобственный интеграл
.
Следовательно, несобственный интеграл расходится, тогда и ряд
расходится по интегральному признаку Коши.
Ответ: расходится.