Несобственный интеграл

Несобственный интеграл - student2.ru

численно равен площади заштрихованной фигуры, при этом возможны два случая:

1) Первая мысль, которая приходит в голову: «Раз фигура бесконечная, то и интеграл

Несобственный интеграл - student2.ru »,

иными словами, площадь тоже бесконечна. Так может быть. В этом случае говорят, что, что несобственный интеграл расходится.

2) Но! Как это ни парадоксально прозвучит, площадь бесконечной фигуры может равняться… конечному числу! Например:

Несобственный интеграл - student2.ru .

Может ли так быть? Да. В этом случае несобственный интеграл сходится.

В каких случаях несобственный интеграл расходится, а в каком сходится? Это зависит от подынтегральной функции f(x) и от её поведения на бесконечности.

А что будет, если бесконечная криволинейная трапеция расположена ниже оси? В этом случае несобственный интеграл

Несобственный интеграл - student2.ru ,

«расходится», либо равен отрицательному числу.

Несобственный интеграл может быть отрицательным.

Важно!Когда Вам для решения предложен ПРОИЗВОЛЬНЫЙ несобственный интеграл, то, вообще говоря, ни о какой площади речи не идет и чертежа строить не нужно. Ваша задача найти ЧИСЛО, либо доказать, что несобственный интеграл расходится. Геометрический смысл несобственного интеграла рассказан только для того, чтобы легче было понять материал. Поскольку несобственный интеграл очень похож на определенный интеграл, то вспомним формулу Ньютона- Лейбница:

Несобственный интеграл - student2.ru .

На самом деле формула применима и к несобственным интегралам, только ее нужно немного модифицировать. В чем отличие? В бесконечном верхнем пределе интегрирования: b = +∞. Наверное, многие догадались, что здесь необходимо применение теории пределов, и формула запишется так:

Несобственный интеграл - student2.ru .

В чем отличие от определенного интеграла? Да ни в чем особенном! Как и в определенном интеграле, нужно уметь находить первообразную функцию F(X) (неопределенный интеграл) и уметь применять формулу Ньютона-Лейбница. Единственное, что добавилось – это вычисление предела.

У кого с ними плохо, изучите урок Пределы функций. Примеры решений.

Рассмотрим два классических примера:

Пример 1

Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость.

Несобственный интеграл - student2.ru

Для наглядности построим чертеж, хотя, еще раз подчеркиваю, на практике строить чертежи в данном задании не нужно.

Несобственный интеграл - student2.ru

Подынтегральная функция (y = 1/x) непрерывна на интервале [1; +∞). Попробуем вычислить несобственный интеграл «штатным» методом.

Применение нашей формулы

Несобственный интеграл - student2.ru

и решение задачи выглядит так:

Несобственный интеграл - student2.ru

То есть, несобственный интеграл расходится, и площадь заштрихованной криволинейной трапеции равна бесконечности (не существует).

В рассмотренном примере у нас простейший табличный интеграл и такая же техника применения формулы Ньютона-Лейбница, как в определенном интеграле. Но применяется эта формула под знаком предела. Вместо привычной буквы x «динамической» переменной выступает буква «бэ». Это не должно смущать или ставить в тупик, потому что любая буква ничем не хуже стандартного «икса».

Если Вам непонятно, почему Несобственный интеграл - student2.ru при Несобственный интеграл - student2.ru , то это очень плохо, либо Вы не понимаете простейшие пределы (и вообще не понимаете, что такое предел), либо не знаете, как выглядит график логарифмической функции.

При решении несобственных интегралов очень важно знать, как выглядят графики основных элементарных функций!

Чистовое оформление задания должно выглядеть примерно так:

Несобственный интеграл - student2.ru

Подынтегральная функция непрерывна на «полубесконечном» интервале Несобственный интеграл - student2.ru .

Несобственный интеграл - student2.ru

Несобственный интеграл расходится.

При оформлении примера всегда прерываем решение, и указываем, что происходит с подынтегральной функцией на границах интервала. Этим мы идентифицируем тип несобственного интеграла.

Если Вам встретится интеграл вроде

Несобственный интеграл - student2.ru ,

то с вероятностью, близкой к 100%, можно сказать, что это опечатка. Здесь подынтегральная функция не является непрерывной, на интервале интегрирования Несобственный интеграл - student2.ru , она терпит разрыв в точке Несобственный интеграл - student2.ru . Теоретически и практически допустимо вычислить два несобственных интеграла на интервалах Несобственный интеграл - student2.ru и Несобственный интеграл - student2.ru , а потом их сложить, но со здравой точки зрения такая вещь выглядит довольно абсурдно. Опечатка.

Иногда вследствие опечатки несобственного интеграла может вообще не существовать. Например, если в знаменатель вышеуказанного интеграла поставить квадратный корень из «икс», то часть интервала интегрирования вообще не войдёт в область определения подынтегральной функции.

Наши рекомендации